Non-coherence of certain rings of holomorphic functions (Q914900)

Soit A un anneau et \(u_ 1,u_ 2,\dots,u_ k\) des éléments de A. On note \(R=R(u_ 1,\dots,u_ k;A)\) le module des relations à coefficients dans A, i.e. \(R=\{(f_ 1,\dots,f_ k)\in A^ k:\sum^{k}_{i=1}f_ iu_ i=0\}\). Un anneau A est dit cohérent si pour tout k-uplet \((u_ 1,\dots,u_ k)\in A^ k\) le module des relations R est un A-module de type fini. Le problème de la cohérence ou la non-cohérence de certains anneaux de fonctions holomorphes a été étudié par divers auteurs, parmi lesquels W. McVoy, L. A. Rubel, J. P. Rosay et A. Amar. Le présent article apporte quelques éléments de réponse à la question de savoir si l'anneau \(A^{\infty}(\Omega)=H(\Omega)\cap C^{\infty}({\bar \Omega})\) dans un domaine \(\Omega\) de \({\mathbb{C}}^ n\), \(n\geq 1\) est cohérent ou non. Dans un premier cas, l'auteur prouve que les anneaux \(A^{\infty}(D)\), \(A^{\infty}(M)\), \(A(D)=H(D)\cap C\circ (\bar D)\) et A(M) ne sont pas cohérents. Ici, \(D=\{z\in {\mathbb{C}}:| z| <1\}\) et \(M=\{z\in {\mathbb{C}}:\) \(Re\{z\}>0\}\). Pour le cas \({\mathbb{C}}^ n\), \(n>1\), il est démontré que si \(\Omega\) est un ouvert strictement pseudo-convexe à bord lisse \(C^{\infty}\), alors \(A^{\infty}(\Omega)\) et A(\(\Omega\)) ne sont pas cohérents. L'auteur déduit ces résultats d'un lemme qui lui-même est une conséquence d'un théorème obtenu par \textit{J. Bruna} et \textit{J. M. Ortega} [Math. Ann. 268, 137-157 (1984; Zbl 0533.32002)] et par \textit{J. Chaumat} et \textit{A. M. Chollet} [C. R. Acad. Sci., Paris, Ser. I 300, 419-422 (1985; Zbl 0584.32032)] portant sur certaines propriétés de division par des fonctions de \(A^{\infty}\).