Existence et unicité de la solution pour un système de deux e.d.p. (Existence and uniqueness of solutions to a system of two PDE) (Q914990)

Il s'agit du syste\`me d'équations aux dérivées partielles paraboliques \[ (1)\quad \frac{\partial^ 2u}{\partial t^ 2}=\frac{\partial}{\partial x}(p_ 1(\chi)\frac{\partial u}{\partial x})+\frac{\partial}{\partial x}(p_ 2(\chi)\frac{\partial^ 2u}{\partial x\partial t})-p_ 3(\chi)u-\frac{\partial}{\partial x}(p_ 4(\chi)) \] \[ \frac{\partial \chi}{\partial t}=D\frac{\partial^ 2\chi}{\partial x^ 2}+(K-\chi)p_ 5(\frac{\partial u}{\partial x})- [\beta +| \chi |]| \chi |^{n-1}\chi \] dans \(Q_ t=]0,T[\times \Omega\) où \(\Omega =]0,1[\), avec les conditions aux limites \[ u=0,\quad \frac{\partial \chi}{\partial v}=0\quad sur\quad \Sigma_ T=]0,T[\times \partial \Omega \quad o\grave u\quad \partial \chi /\partial v=-\partial \chi /\partial x\quad en\quad x=0\quad et\quad \partial \chi /\partial v=\partial \chi /\partial x\quad en\quad x=1, \] et les conditions initiales \[ u(0,x)=u^ 0(x),\frac{\partial}{\partial t}(t,x)=u^ 1(x),\quad \chi (0,x)=\chi_ 0(x)\quad pour\quad x\in \Omega, \] où K,\(\beta\) sont de constantes positives et les fonctions \(p_ i\), (1\(\leq i\leq 5)\), \(u^ 0,u^ 1,\chi_ 0\) sont données. Il faut remarquer que le système (1) a été proposé par \textit{B. C. Goodwin} et \textit{L. E. H. Craimer} [J. Theor. Biol. 117, 79-106 (1985)] pour modéliser l'évolution mécanique et chimique du cytoplasme de l'1algue ``acetabularia-méditerrannea''. Soit \(U=(u_ 1,u_ 2)\) où \(u_ 1=u\), \(u_ 2=\partial u/\partial t\); alors le problème (1) est ramené à trouver la solution (U,\(\chi\)) d'un autre système, pour lequel on renvoie au travail en question.