Convexity and subharmonicity (Q915911)

Es werden einige Zusammenhänge zwischen Subharmonizität und Konvexität zusammengestellt, die z.T. schon in früheren Arbeiten aufgezeigt wurden; s. z.B. \textit{D. H. Armitage} und \textit{Ü. Kuran} [Proc. Am. Math. Soc. 93, 598-600 (1985; Zbl 0568.31002)] und \textit{S. J. Gardiner} und \textit{M. Klimek} [Bull. Lond. Math. Soc. 18, 41-43 (1986; Zbl 0562.31014)]. Einige Resultate seien hier genannt: 1a) \(u\) harmonisch, \(v\) positiv und harmonisch, \(\phi\) konvex \(\Rightarrow v\phi(u/v)\) subharmonisch, 1b) \(u\) subharmonisch, \(v\) positiv und harmonisch, \(\phi\) convex und wachsend \(\Rightarrow v\phi(u/v)\) subharmonisch (``Kompositionseigenschaften''). 2) Sei \(u\) subharmonisch in \(B_ R(0)\subset {\mathbb{R}}^ n\) \((n\geq 3)\), \(\phi: {\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}}\) mit \(\phi'>0\), \(\phi''>0\), \(\phi'/\phi''\) konkav. Dann ist \(\phi^{-1}(M(\phi \circ u;0,r^{1/(2-n)}))\) konvex in \(0<r<R.\) Dabei bezeichnet \(M(u;x,r):= (1/| \partial B_ r|)\int_{\partial B_ r}u(\xi)ds(\xi)\) das sphärische Mittel. (Bsp.: \(\phi =e^ x\) oder \(\phi =\cosh (x).)\) 3) Sei \(\Omega \subsetneqq {\mathbb{R}}^ 2\). \(u(x):=-dist(x,\partial \Omega)\) (x\(\in \Omega)\) ist subharmonisch genau dann, wenn \(\Omega\) konvex ist.