A simultaneous almost everywhere central limit theorem for diffusions and its application to path energy and eigenvalues of the Laplacian (Q916191)

Soit M une variété riemannienne compact \(C^{\infty}\) de dimension d et de mesure normalisée m, et soit \(L_ t\) la mesure d'occupation de la trajectoire jusqu'à l'instant t d'une diffusion de générateur \(\Delta\). On note \({\mathcal X}\) l'espace nucléaire obtenu par intersection pour \(\alpha >d-1\) des espaces de Sobolev \(H^{-\alpha}(M)\). Le but de l'article est de montrer que p.s., au sens de la convergence faible des probabilités sur \({\mathcal X}\), \(\lim_{t\to \infty}(\log t)^{- 1}\int^{t}_{1}s^{-1}\nu (s)ds=N_ G\), où \(\nu\) (s) est la mesure de Dirac au point de \({\mathcal X}\) défini par \((L_ s-sm)s^{-1/2}\), et où \(N_ G\) est sur \({\mathcal X}\) la mesure gaussienne centrée associée à l'opérateur de Green G. Un corollaire de ce théorème permet de reconstituer l'ensemble du spectre de l'opérateur \(\Delta\) à partir du développement de l'énergie d'ordre \(\alpha\) de chacune des trajectoires de la diffusion.