Die Fredholmsche Alternative und Polynome. (Fredholm alternative and polynomials.) (Q916717)

Gegeben sei ein lineares Gleichungssystem \(Mc=d\) mit quadratischer Matrix M. Die Fredholmsche Alternative besagt, daß dieses Gleichungssystem entweder für \(d=0\) nichttriviale Lösungen besitzt oder für jedes d genau eine Lösung hat. Mit Hilfe dieser Fredholmschen Alternative werden einige elementare Sätze über Polynome (mit reellen bzw. komplexen Koeffizienten) und rationale Funktionen hergeleitet, wie etwa der Hauptsatz für Polynome: Seien P,Q\(\neq 0\) teilerfremde Polynome, und sei R ein Polynom mit deg R\(<\deg P+\deg Q\). Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome A,B mit deg A\(<\deg P\), deg B\(<\deg Q\) und \(AQ+BP=R\). Die Beweise zeichnen sich durch einen minimalen algebraischen Aufwand aus. Daher schlagen die Autoren diesen Zugang zur Verwendung in einführenden Vorlesungen vor.