The Lebesgue constant for Lagrange interpolation in the simplex (Q917829)

Betrachtet wird das Problem der Lagrange-Interpolation auf einer kompakten Menge \(X\subset {\mathbb{R}}^ k\) mit Stützstellen \(A_ i\in X\). Sei \(\pi^ k_ d\) die Menge von Polynomen mit Grad kleiner oder gleich d in k Variablen und \(T(d,k)=\dim \pi^ k_ d\). Seien \(\ell_{dv}\in \pi^ k_ d\) die Polynome mit \(\ell_{dv}(A_ i)=\delta_{vi}\), für \(i,v=1,..,T(d,k)\). Die Lebesgue-Funktion ist definiert durch \(\lambda_ d(x):=\sum^{T(d,k)}_{v=1}| \ell_{dv}(x)|,\) die Lebesgue-Konstante durch \(\Lambda_ d:=\sup_{x\in X}\lambda_ d(x)\). Die Arbeit beschränkt sich zunächst auf \(k=2\) Variable sowie auf äquidistant verteilte Stützstellen im Einheitssimplex \(\Delta\). Der Autor leitet eine explizite Formel für \(u(x)=\limsup_{d\to \infty}(1/d)\log \lambda_ d(x_ 1,x_ 2)\) sowie für \(M=\lim_{d\to \infty}(1/d)\log \Lambda_ d\) her \((M=\log 2)\). Es gilt für \((x_ 1,x_ 2)\in Int(\Delta):\) \[ \limsup_{d\to \infty}(1/d)\log \lambda_ d(x_ 1,x_ 2)=\max (F(x_ 1),F(x_ 2),F(1-x_ 1-x_ 2)) \] mit \(F(t)=t \log t+(1-t)\log (1-t)+\log 2\). Für \((x_ 1,x_ 2)\in Bd(\Delta)\) gilt: \[ \limsup_{d\to \infty}(1/d)\log \lambda_ d(x_ 1,x_ 2)\leq \max (F(x_ 1),F(x_ 2),F(1-x_ 1-x_ 2)). \] Ferner wird auf analoge Resultate im \({\mathbb{R}}^ k\) (k\(\geq 2)\) hingewiesen.