Valeurs prises par les martingales locales positives continues a un instant donné. (Values taken by continuous, positive local martingales at a given instant) (Q919706)

Soient L une martingale locale continue nulle en 0 fixée, T un temps d'arrêt, X une v.a. positive, \({\mathcal F}_ T\)-mesurable et intégrable. On s'intéresse aux représentations \(X=M_ T\), où M est une martingale locale de la forme \(\alpha +H\cdot L\), \(\alpha\) étant une constante et H un processus prévisible tel que \(H^ 2\cdot <L,L>\) soit fini. De telles représentations ont une interprétation intéressante en économie mathématique, et ont fait l'objet de conjectures de \textit{J. M. Harrison} et \textit{S. R. Pliska} [Stochastic Processes Appl. 11, 215-260 (1981; Zbl 0482.60097), voyez aussi ibid. 15, 313-316 (1983; Zbl 0511.60094)]. L'article répond en partie à ces conjectures, de manière essentiellement négative. 1) Il se peut que X admette des représentations du type précédent, et n'en admette cependant aucune telle que M soit positive. 2) S'il existe des représentations positives, il en existe une pour laquelle \(\alpha\) est minimale, mais cette représentation peut satisfaire à l'inégalité stricte \(\alpha >{\mathbb{E}}[X]\).