Eine Liniennorm zur Konstruktion quasikonformer Abbildungen. (A line norm for the construction of quasi-conformal mappings) (Q920234)

Betrachtet wird eine quasikonforme Abbildung f der Vollebene auf sich, die im Äußeren einer rektifizierbaren Jordan-Kurve C analytisch ist mit \[ (1)\quad f(z)=z+a_ 1z^{-1}+a_ 2z^{-2}+... \] in U(\(\infty)\) und im Inneren von C der Differentialgleichung \[ f_{\bar z}=q\overline{f_ z} \] genügt. Mit Hilfe der Szegö-Norm \[ \| h\|:=(\int_{C}| h(z)|^ 2| dz|)^{1/2} \] wird ein Extremalprinzip für \(r(z):=f(z)-z\) formuliert im Raum \(H(G):=\{h:\) h analytisch in G, \(\| h\| <\infty \}\), wobei G das von C berandete Gebiet mit \(\infty \in G\) bezeichnet. Für hinreichend glatte Kurven C wird gezeigt, daß die Ritz- Approximationen für jedes in H(G) vollständige System von Ansatzfunktionen gegen r konvergieren. Für stückweise analytische Kurven C wird der folgende spezielle Ritz-Ansatz untersucht: \[ f_ n(z)=z+\sum^{n}_{1}a_{i,n}(z-z_ 0)^{-i}\quad (z_ 0\not\in G) \] untersucht. Unter der Zusatzvoraussetzung \(\| f'\| <\infty\) wird gezeigt, daß \(Re(a_{1,n})\) gegen \(Re(a_ 1)\) aus (1) konvergiert. Als numerisches Beispiel wird dieses Verfahren auf eine Quadratlinie angewandt; die zum Teil unbefriedigenden Ergebnisse führt der Autor auf Singularitäten der Lösung zurück, die von den Ansatzfunktionen nicht approximiert werden können.