The \(K\)-orbit of a normal element in a complex semisimple Lie algebra (Q953163)

Für \(A \in {C}_{n \times n}\) bezeichne \({W}(A)\) das Bild der Projektion der Bahn \({O}(A):=\{UAU^{-1}\); \(U \in {U}(n)\}\) \(({U}(n)\) unitäre Gruppe) auf die Menge der Diagonalmatrizen. Das Theorem von Schur-Horn besagt, dass für \(A\) hermitesch mit Eigenwerten \(\lambda := (\lambda_1,\dots, \lambda_n) \in {R}^n\) gilt: \[ W(A) =\operatorname{conv} S_n\lambda , \] d.h. die konvexe Hülle der Bahn von \(\lambda\) unter der Operation der symmetrischen Gruppe. 1977 haben Au-Yeung und Sing für normales \(A\) eine Umkehrung dieses Satzes bewiesen. Zuvor schon hatte Kostant das Schur-Hornsche Theorem auf reelle halbeinfache Lie-Algebren verallgemeinert. In der vorliegenden Arbeit wird nun die Umkehrung des Kostantschen Konvexitätstheorems für ein normales Element einer komplexen halbeinfachen Lie-Algebra gezeigt. Im Beweis wird auf die einfachen Komponenten der Lie-Algebra reduziert und dann spielt die Länge der Wurzeln eine wesentliche Rolle.