Fields of large transcendence degree generated by values of elliptic functions
type: Item
instance of: scholarly article
title: Fields of large transcendence degree generated by values of elliptic functions
zbMATH Open document ID: 0516.10027
DOI: 10.1007/BF01398396
published in: Inventiones Mathematicae
publication date: 1983-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/143029
review text: Le théorème principal de cet article donne une minoration du degré de transcendance de certains corps engendrés par des valeurs d'une fonction elliptique. Soit \(\wp\) une fonction de Weierstrass ayant des invariants \(g_2, g_3\) algébriques, et n'ayant pas de multiplication complexe. Soient \(u_1,\ldots, u_n\) des nombres complexes linéairement indépendants sur \(\mathbb Q\), et satisfaisant une certaine mesure d'indépendance linéaire. Soient \(v_1,\ldots, v_n\) des nombres complexes linéairement indépendants sur \(\mathbb Q\) est satisfaisant la même condition. Alors la degré de transcendance \(t\) du corps obtenu en adjoignant à \(\mathbb Q\) les valeurs de \(\wp\) aux points \(u_iv_j\) pour les \(i, j\) \((1\leq i\leq n\), \(1\leq j\leq m)\) tels que \(u_iv_i\) ne soit pas pôle de \(\wp\) vérifie \[ 2^{t+2}(t + 8)\geq mn/(m+ 2n). \] C'est le premier exemple de corps ayant un grand degré de transcendance sur \(\mathbb Q\), engendré par des valeurs de fonctions elliptiques. Quand on remplace \(\wp\) par la fonction exponentielle, des énoncés analogues ont été obtenus par Chudnovsky, Warkentin, Philippon-Reyssat, Endell, Brownawell, et Nesterenko (voir \textit{R. Endell} [Zur algebraischen Unabhängigkeit gewisser Werte der Exponentialfunktion, Journées Arithmétiques 1983, Lect. Notes Math. 1068, 80--85 (1984; Zbl 0541.10030)]). Ces résultats sur la fonction exponentielle utilisent de manière essentielle un lemme (Gel'fond, Mahler, Tijdeman) concernant les petites valeurs de polynômes exponentiels, et l'analogue elliptique de ce lemme n'est pas connu. C'est là la source principale des difficultés. Les auteurs ont déjà ébtabli un lemme de zeros pour un groupe algébrique commutatif [Invent. Math. 64, 489--516 (1981; Zbl. 467.10025)]. Ils remarquent que, pour une variété complète (ici une puissance d'une courbe elliptique), ce lemme de zéros, combiné avec une méthode d'élimination effective, doit donner un lemme de petites valeurs. Mais l'estimation ainsi obtenue n'est…
reviewed by: Michel Waldschmidt
Mathematics Subject Classification ID: 11J89
Mathematics Subject Classification ID: 11G35
Mathematics Subject Classification ID: 14G25
zbMATH DE Number: 3815754
zbMATH Keywords: fields of large transcendence degree
zbMATH Keywords: algebraic independence
zbMATH Keywords: zero lemmas
zbMATH Keywords: zero estimate for group varieties
zbMATH Keywords: primary ideal
zbMATH Keywords: polynomial rings
zbMATH Keywords: algebraic subgroups of products of elliptic curves
zbMATH Keywords: effective version of Hilbert's Nullstellensatz
zbMATH Keywords: Kolchin theorem
zbMATH Keywords: Weierstrass elliptic function
author: D. Masser
author: Gisbert Wüstholz
Wikidata QID: Q93516202
MaRDI profile type: Publication
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OpenAlex ID: W1988839605
description: scientific article; zbMATH DE number 3815754