A new proof of the Schiffer's identities on planar Riemann surfaces
type: Item
instance of: scholarly article
title: A new proof of the Schiffer's identities on planar Riemann surfaces
zbMATH Open document ID: 0563.30035
author: Yukio Kusunoki
published in: Proceedings of the Japan Academy. Series A
publication date: 1984-01-01T00:00:00Z
review text: Ist D ein Gebiet aus \({\mathbb{C}}\), dessen Rand aus endlich vielen Kurven besteht, und \(z_ 0\in D\), so gibt es zwei Schlitzfunktionen \(P_ 0\) und \(P_ 1\) auf D, so daß für \(j=0,1\) die holomorphe Funktion \(P_ j(z)-1/(z-z_ 0)\) in \(z_ 0\) verschwindet und \(P_ 0\) bzw. \(P_ 1\) das Gebiet D konform auf ein Gebiet \(P_ 0(D)\) bzw. \(P_ 1(D)\) abbildet, dessen Rand aus waagerechten bzw. senkrechten Schlitzen besteht. Für \(\Phi_+:=(P_ 0+P_ 1)/2\) und \(\Phi_-:=(P_ 0-P_ 1)/2\) hat Schiffer bewiesen: \[ (*)\quad \Phi_-(z)=- (1/\pi)\iint_{A}(d\xi d\eta /(\zeta -\Phi_+(z)))\text{ für }z\in D,\quad \zeta =\xi +i\eta \] \[ (**)\quad \iint_{A}(d\xi d\eta /(\zeta-w)^ 2)=0\text{ für alle }w\in \overset\circ A, \] wobei Å das Komplement von \(\Phi_+(D)\) ist, und in (**) es sich um den Cauchy Hauptwert handelt. In der vorliegenden Arbeit werden (*) und (**) für verallgemeinerte Schlitzfunktionen auf einer Riemannschen Fläche vom Geschlecht Null, die nicht vom Typ \({\mathcal O}_{AD}\) [siehe \textit{L. V. Ahlfors} und \textit{L. Sario}: Riemann surfaces (1960; Zbl 0196.338)] ist, bewiesen. Dabei werden die Hilberttransformationen und die extremalen Eigenschaften von \(\Phi_+\) und \(\Phi_-\) benutzt.
Mathematics Subject Classification ID: 30E20
Mathematics Subject Classification ID: 30F99
zbMATH DE Number: 3897315
zbMATH Keywords: slit functions
reviewed by: Andrei Duma
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: pjaa.60.345
OpenAlex ID: W2012101421
cites work: Q5593095
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DOI: 10.3792/PJAA.60.345
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description: scientific article; zbMATH DE number 3897315