Action d'une forme réelle d'un groupe de Lie complexe sur les fonctions plurisousharmoniques
type: Item
instance of: scholarly article
title: Action d'une forme réelle d'un groupe de Lie complexe sur les fonctions plurisousharmoniques
zbMATH Open document ID: 0563.32013
author: Jean-Jacques Loeb
publication date: 1985-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: http://www.numdam.org/item
full work available at URL: https://eudml.org/doc/74698
review text: Soit \(G_{{\mathbb C}}\) un groupe de Lie complexe et \(G_{{\mathbb R}}\) une forme réelle fermée de \(G_{{\mathbb C}}\). Un couple \((G_{{\mathbb C}},G_{{\mathbb R}})\) est dit pseudo-convexe, s'il existe sur \(G_{{\mathbb C}}\) une fonction régulière, strictement p.s.h., invariante par l'action de \(G_{{\mathbb R}}\) et d'exhaustion sur \(G_{{\mathbb C}}/G_{{\mathbb R}}\). On dit que \(G_{{\mathbb R}}\) est à spectre imaginaire pur, si pour tout \(X\) de \(\text{Lie}(G_{{\mathbb R}})\), les valeurs propres de \(\text{ad}\;X\) sont imaginaires pures. Pour \(G_{{\mathbb C}}\) à radical simplement connexe, cette dernière propriété équivaut à la pseudo-convexité de \((G_{{\mathbb C}},G_{{\mathbb R}})\). Pour \((G_{{\mathbb C}},G_{{\mathbb R}})\) pseudo-convexe et sous une hypothèse de sous-groupe discret, il existe sur tout ouvert invariant \(\Omega\) une fonction invariante strictement p.s.h. et d'exhaustion sur \(\Omega /G_{{\mathbb R}}\). Sous les mêmes hypothèses, on a le théorème suivant: Soit \(\Omega\) un ouvert de Stein \(G_{{\mathbb R}}\)-invariant de \(X\times G_{{\mathbb C}}\) et à fibre connexe au-dessus de \(X\). Sa projection sur \(X\) est de Stein, lorsque \(X\) est de Stein. Au chapitre VI, on montre l'inexistence d'une métrique kählérienne invariante sur \(G_{{\mathbb C}}\) lorsque \(G_{{\mathbb R}}\) n'est pas à spectre imaginaire pur. Ce résultat implique l'inexistence d'une métrique kählérienne pour certaines variétés résolubles complexes non compactes.
reviewed by: Jean-Jacques Loeb
Mathematics Subject Classification ID: 32M05
Mathematics Subject Classification ID: 32E10
Mathematics Subject Classification ID: 32U05
Mathematics Subject Classification ID: 22E10
Mathematics Subject Classification ID: 32F99
zbMATH DE Number: 3897337
zbMATH Keywords: Stein space
zbMATH Keywords: pure imaginary spectrum
zbMATH Keywords: pseudoconvex complex Lie group
zbMATH Keywords: plurisubharmonic function
zbMATH Keywords: nonexistence of Kähler metric
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W2316114279
cites work: Q5614712
cites work: Q3945259
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cites work: Representations of solvable Lie algebras
cites work: Q5682517
DOI: 10.5802/AIF.1028
published in: Annales de l’institut Fourier
description: scientific article; zbMATH DE number 3897337