Synthetische Konstruktion affiner Möbiusgeometrien
Die Ketten einer affinen Kettengeometrie A(K,\({\mathcal A})\) sind Normkurven [\textit{H. Havlicek}, Abh. Math. Semin. Univ. Hamb. 53(1983), 266-275 (1984; Zbl 0527.51010)]. Im Falle daß \({\mathcal A}=L\) eine galoissche Erweiterung von K vom Primzahlgrad p ist, lassen sich die Ketten in \({\mathfrak A}=AG(p,K)\), kanonisch eingebettet in AG(p,L), synthetisch beschreiben: Sei \(\Gamma\) die Galoisgruppe von L/K, also \(\Gamma =<\gamma >\) mit \(\gamma^ p=1\); sei \(P=<(x_ 1,...,x_ p)>\) ein Fernpunkt von \({\mathfrak A}\), derart daß mit \(P_ i=<(x_ 1^{\gamma^{i- 1}},...,x_ p^{\gamma^{i-1}})>\) die Punkte \(P_ 1,...,P_ p\) die Fernhyperebene aufspannen. Dann bestimmt sich für Punkte X,Y,Z von \({\mathfrak A}\) die eindeutig bestimmte Kette durch X,Y,Z wie folgt: Sind X,Y,Z kollinear, so ist die Kette gegeben durch diejenige Gerade von \({\mathfrak A}\), die X,Y,Z enthält. Sind X,Y,Z nicht kollinear, so sind die Punkte \(X,Y,Z,P_ 1,...,P_ p\) im projektiven Abschluß von AG(p,L) in allgemeiner Lage, bestimmen also dort eindeutig eine Normkurve der Ordnung p, deren zu \({\mathfrak A}\) gehörende Punkte (''reelle Spur'') dann die gesuchte Darstellung der Kette ergeben. Die Ketten bestehen also neben allen Geraden von \({\mathfrak A}\) aus denjenigen Normkurven von \({\mathfrak A}\), welche reelle Spuren von Normkurven der Ordnung p durch \(P_ 1,...,P_ p\) in AG(p,L) sind. (Für \(K={\mathbb{R}}\) und \(L={\mathbb{C}}\) ist dies das klassische Ergebnis der Darstellung der Kreise der euklidischen Ebene als diejenigen Kegelschnitte, welche sämtlich durch zwei feste konjugierte imaginäre Fernpunkte gehen.)
scientific article; zbMATH DE number 3897694