A new class of modular forms and modular functions
Die untersuchten Funktionen hängen von 3 Variablen \(\rho\), \(\sigma\), \(\tau\) ab und genügen den Funktionalgleichungen \[ \phi ((a\tau +b)/(c\tau +d),a\rho +b\sigma,c\rho +d\sigma) (c\tau +d)^{-k}=\chi \left( \begin{matrix} a\quad b\\ c\quad d\end{matrix} \right) \phi (\tau,\rho,\sigma), \] \[ \phi (\tau,\rho +\mu,\sigma +\nu) \exp (m(\sigma \mu -\rho \nu))=\phi (\tau,\rho,\sigma), \] wobei \(\left( \begin{matrix} a\quad b\\ c\quad d\end{matrix} \right)\) einer Untergruppe von endlichem Index in \(\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})\) angehört und \(\mu\),\(\nu\in\mathbb{Z}\). Die Funktionen sind für \(\tau\) in der oberen Halbebene analytisch und in \(\rho\),\(\sigma\in \mathbb{R}\) mindestens \((k+1)\)-mal stetig differenzierbar. Daneben werden naheliegende Bedingungen für das Verhalten in \(\tau\) in den Spitzen verlangt. \(k\) heißt das Gewicht, \(m\) der Index der Funktion. Es sei \(F[x]\) eine ganzzahlige definite quadratische Form in \(2k\) Variablen und \(p(x)\) eine homogene Kugelfunktion bzgl. \(F\) vom Grade \(h\). Dann ist die Thetareihe mit \(r\in\mathbb{Z}^{2k}\) \[ \vartheta (\tau,\rho,\sigma)=\sum_{x\in {\mathbb{Z}}^{2k}}p(x-\sigma r) \exp ((\tau /2)F[x-\sigma r]+\rho r^ t F[x-\rho \sigma]) \] eine erweiterte Modulform in diesem Sinne. Durch den Differentialoperator \[ (\partial /\partial \sigma +\tau \partial /\partial \rho +2\pi im(\rho -\sigma \tau))\phi \] wird eine erweiterte Modulform auf eine solche des gleichen Index, aber von einem um 1 kleineren Gewicht abgebildet. Hiermit zeigt man: die erweiterten Modulformen sind für alle \(\rho\),\(\sigma\in {\mathbb{C}}\) sogar analytisch. Der Ring der Schar aller Modulformen läßt sich abschätzen. Der Körper der Quotienten von Modulformen mit gleichem \(k\) und \(m\) ist ein endlich algebraischer Funktionenkörper vom Transzendenzgrad 3. Zum Schluß werden die Hecke-Operatoren und die Fixpunkte der Modularkorrespondenzen betrachtet.
scientific article; zbMATH DE number 3898987