A new class of modular forms and modular functions
type: Item
instance of: scholarly article
title: A new class of modular forms and modular functions
zbMATH Open document ID: 0564.10033
DOI: 10.1007/BF02941487
published in: Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg
publication date: 1985-01-01T00:00:00Z
review text: Die untersuchten Funktionen hängen von 3 Variablen \(\rho\), \(\sigma\), \(\tau\) ab und genügen den Funktionalgleichungen \[ \phi ((a\tau +b)/(c\tau +d),a\rho +b\sigma,c\rho +d\sigma) (c\tau +d)^{-k}=\chi \left( \begin{matrix} a\quad b\\ c\quad d\end{matrix} \right) \phi (\tau,\rho,\sigma), \] \[ \phi (\tau,\rho +\mu,\sigma +\nu) \exp (m(\sigma \mu -\rho \nu))=\phi (\tau,\rho,\sigma), \] wobei \(\left( \begin{matrix} a\quad b\\ c\quad d\end{matrix} \right)\) einer Untergruppe von endlichem Index in \(\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})\) angehört und \(\mu\),\(\nu\in\mathbb{Z}\). Die Funktionen sind für \(\tau\) in der oberen Halbebene analytisch und in \(\rho\),\(\sigma\in \mathbb{R}\) mindestens \((k+1)\)-mal stetig differenzierbar. Daneben werden naheliegende Bedingungen für das Verhalten in \(\tau\) in den Spitzen verlangt. \(k\) heißt das Gewicht, \(m\) der Index der Funktion. Es sei \(F[x]\) eine ganzzahlige definite quadratische Form in \(2k\) Variablen und \(p(x)\) eine homogene Kugelfunktion bzgl. \(F\) vom Grade \(h\). Dann ist die Thetareihe mit \(r\in\mathbb{Z}^{2k}\) \[ \vartheta (\tau,\rho,\sigma)=\sum_{x\in {\mathbb{Z}}^{2k}}p(x-\sigma r) \exp ((\tau /2)F[x-\sigma r]+\rho r^ t F[x-\rho \sigma]) \] eine erweiterte Modulform in diesem Sinne. Durch den Differentialoperator \[ (\partial /\partial \sigma +\tau \partial /\partial \rho +2\pi im(\rho -\sigma \tau))\phi \] wird eine erweiterte Modulform auf eine solche des gleichen Index, aber von einem um 1 kleineren Gewicht abgebildet. Hiermit zeigt man: die erweiterten Modulformen sind für alle \(\rho\),\(\sigma\in {\mathbb{C}}\) sogar analytisch. Der Ring der Schar aller Modulformen läßt sich abschätzen. Der Körper der Quotienten von Modulformen mit gleichem \(k\) und \(m\) ist ein endlich algebraischer Funktionenkörper vom Transzendenzgrad 3. Zum Schluß werden die Hecke-Operatoren und die Fixpunkte der Modularkorrespondenzen betrachtet.
Mathematics Subject Classification ID: 11F11
Mathematics Subject Classification ID: 11F27
Mathematics Subject Classification ID: 11F25
zbMATH DE Number: 3898987
zbMATH Keywords: quadratic form
zbMATH Keywords: differential operator
zbMATH Keywords: extended modular form
zbMATH Keywords: analytic modular forms
zbMATH Keywords: theta series
zbMATH Keywords: rank
zbMATH Keywords: quotient field
zbMATH Keywords: Hecke operators
zbMATH Keywords: fixed points of modular congruences
author: Martin Eichler
MaRDI profile type: Publication
cites work: Zur Arithmetik der elliptischen Funktionenkörper höherer Stufe.
cites work: Meromorphe Funktionen auf Mumfords Kompaktifizierung der universellen elliptischen Kurve N-ter Stufe.
cites work: Q5672700
cites work: Das Verhalten von mehrfachen Thetareihen bei Modulsubstitutionen
cites work: The theory of Jacobi forms
full work available at URL: https://doi.org/10.1007/bf02941487
OpenAlex ID: W4253324001
description: scientific article; zbMATH DE number 3898987