On the class number of quadratic number fields whose discriminants have only odd prime divisors \(p\equiv 1\bmod 4\)
type: Item
instance of: scholarly article
title: On the class number of quadratic number fields whose discriminants have only odd prime divisors \(p\equiv 1\bmod 4\)
zbMATH Open document ID: 0564.12004
DOI: 10.1007/BF02941493
author: Heinrich Von Lang
published in: Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg
publication date: 1985-01-01T00:00:00Z
review text: In Spezialfällen lassen sich die vom Verf. und \textit{R. Schertz} [J. Number Theory 8, 352--365 (1976; Zbl 0335.12008)] bewiesenen Kongruenzen zwischen Klassenzahlen quadratischer Zahlkörper wesentlich vereinfachen. So lassen sich z.B. unter der Voraussetzung, daß \(D\) ein Produkt aus \(r\) Primzahlen \(p\) mit der Eigenschaft \(p\equiv 1\bmod 8\) ist, die folgenden Kongruenzen zwischen den Klassenzahlen \(h(D)\) und \(h(-D)\) von \(\mathbb Q(\sqrt{D})\) und \(\mathbb Q(\sqrt{-D})\) herleiten: \[ h(-D)\equiv S(\varepsilon) h(D)\bmod 2^{r+2},\quad \text{falls}\;N(\varepsilon)=-1; \] \[ h(-D)\equiv S(\varepsilon /(2\sqrt{D})+\varepsilon -1) h(D)\bmod 2^{r+2},\quad\text{falls}\;N(\varepsilon)=1. \] Hierbei bedeuten \(\varepsilon\) die durch \(\varepsilon >1\) normierte Grundeinheit, \(S\) die Spur und \(N\) die Norm in \(\mathbb Q(\sqrt{D})\). Im Fall \(r=1\), also im Fall \(D=p\equiv 1\bmod 8\) mit einer Primzahl \(p\), folgt daraus in Übereinstimmung mit Ergebnissen von \textit{H. Cohn} und \textit{G. Cooke} [Acta Arith. 30, 367--377 (1976; Zbl 0299.12004)], \textit{P. Kaplan} [ibid. 32, 239--243 (1977; Zbl 0357.12010)] und \textit{E. Lehmer} [J. Reine Angew. Math. 250, 42--48 (1971; Zbl 0222.12007)]: \[ h(-D)\equiv S(\varepsilon)\bmod 8. \]
Mathematics Subject Classification ID: 11R29
Mathematics Subject Classification ID: 11R11
zbMATH DE Number: 3899012
zbMATH Keywords: congruences between class numbers
zbMATH Keywords: quadratic fields
MaRDI profile type: Publication
cites work: Parametric form of an eight class field
cites work: Unités de norme -1 de Q (√p) et corps de classes de degré 8 de Q (√-p) où p est un nombre premier congru à 1 modulo 8
cites work: Congruences between class numbers of quadratic number fields
cites work: On the quadratic character of some quadratic surds.
full work available at URL: https://doi.org/10.1007/bf02941493
OpenAlex ID: W1978108500
description: scientific article; zbMATH DE number 3899012