The rank of the solutions of \(Y^2=X^3\pm p^3\) over \(\mathbb Q\)
type: Item
instance of: scholarly article
title: The rank of the solutions of \(Y^2=X^3\pm p^3\) over \(\mathbb Q\)
zbMATH Open document ID: 0564.14011
DOI: 10.1007/BF01169002
published in: Manuscripta Mathematica
publication date: 1984-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/155020
review text: Für eine über \(\mathbb Q\) definierte elliptische Kurve \(E\) bezeichne \(r(E)\) den Rang der endlich erzeugten Gruppe \(E(\mathbb Q)\) der \(\mathbb Q\)-rationalen Punkte auf \(E\) und \(n(E)\) die Nullstellenordnung der \(L\)-Reihe zu \(E\) in \(s=1\). Die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer besagt, daß \(r(E)\) und \(n(E)\) übereinstimmen. In dieser Arbeit wird an Hand der Kurven \(E_ p: Y^ 2=X^ 3\pm p^ 3\) (\(p\) Primzahl) diese Vermutung bekräftigt. Für ''viele'' Primzahlen kann tatsächlich gezeigt weren, daß \(n(E_ p)\) und \(r(E_ p)\) gleich sind. Dafür werden Rang und Nullstellenordnung getrennt berechnet. Die Berechnung von \(r(E_ p)\) erfolgt mit Hilfe von Descent-Theorie. Für die Berechnung von \(n(E_ p)\) werden die Theorie der Heegner-Punkte (speziell: \textit{B. Gross} und \textit{D. Zagier}, C. R. Acad. Sci., Paris, Sér. I 297, 85--87 (1983; Zbl 0538.14023)]) und die Theorie der Modulformen vom Gewicht \(3/2\) (speziell \textit{J.-L. Waldspurger}, J. Math. Pures Appl. (9) 60, 375--484 (1981; Zbl 0431.10015)]) herangezogen. Die letzte Methode wurde schon erfolgreich bei der Behandlung der Kurven \(Y^ 2=X^ 3-D^ 2X\) angewandt (siehe: \textit{J. B. Tunnell}, Invent. Math. 72, 323--334 (1983; Zbl 0515.10013)]).
Mathematics Subject Classification ID: 11G05
Mathematics Subject Classification ID: 11D25
Mathematics Subject Classification ID: 11G40
Mathematics Subject Classification ID: 14G10
Mathematics Subject Classification ID: 14G05
zbMATH DE Number: 3899056
zbMATH Keywords: Birch--Swinnerton-Dyer conjecture
zbMATH Keywords: rational points on elliptic curve
zbMATH Keywords: Heegner point
zbMATH Keywords: modular function
MaRDI profile type: Publication
cites work: Q4078161
cites work: Modular functions of one variable. IV. Proceedings of the international summer school, University of Antwerp, RUCA, July 17 -- August 3, 1972
cites work: Notes on elliptic curves. I.
cites work: On the conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer
cites work: Q4146792
cites work: Formes modulaires de poids $1$
cites work: Die Klassengruppen quadratischer und kubischer Zahlkörper und die Selmergruppen gewisser elliptischer Kurven
cites work: CYCLOTOMIC FIELDS AND MODULAR CURVES
cites work: Q5509717
cites work: On modular forms of half integral weight
cites work: Q5625265
cites work: Sur les coefficients de Fourier des formes modulaires de poids demi-entier
OpenAlex ID: W2911248600
author: Gerhard Frey
description: scientific article; zbMATH DE number 3899056