The rank of the solutions of \(Y^2=X^3\pm p^3\) over \(\mathbb Q\)
Für eine über \(\mathbb Q\) definierte elliptische Kurve \(E\) bezeichne \(r(E)\) den Rang der endlich erzeugten Gruppe \(E(\mathbb Q)\) der \(\mathbb Q\)-rationalen Punkte auf \(E\) und \(n(E)\) die Nullstellenordnung der \(L\)-Reihe zu \(E\) in \(s=1\). Die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer besagt, daß \(r(E)\) und \(n(E)\) übereinstimmen. In dieser Arbeit wird an Hand der Kurven \(E_ p: Y^ 2=X^ 3\pm p^ 3\) (\(p\) Primzahl) diese Vermutung bekräftigt. Für ''viele'' Primzahlen kann tatsächlich gezeigt weren, daß \(n(E_ p)\) und \(r(E_ p)\) gleich sind. Dafür werden Rang und Nullstellenordnung getrennt berechnet. Die Berechnung von \(r(E_ p)\) erfolgt mit Hilfe von Descent-Theorie. Für die Berechnung von \(n(E_ p)\) werden die Theorie der Heegner-Punkte (speziell: \textit{B. Gross} und \textit{D. Zagier}, C. R. Acad. Sci., Paris, Sér. I 297, 85--87 (1983; Zbl 0538.14023)]) und die Theorie der Modulformen vom Gewicht \(3/2\) (speziell \textit{J.-L. Waldspurger}, J. Math. Pures Appl. (9) 60, 375--484 (1981; Zbl 0431.10015)]) herangezogen. Die letzte Methode wurde schon erfolgreich bei der Behandlung der Kurven \(Y^ 2=X^ 3-D^ 2X\) angewandt (siehe: \textit{J. B. Tunnell}, Invent. Math. 72, 323--334 (1983; Zbl 0515.10013)]).
scientific article; zbMATH DE number 3899056