Hypoellipticité maximale pour des opérateurs polynômes de champs de vecteurs. (Maximal hypoellipticity for polynomial operators of vector fields)
type: Item
instance of: scholarly article
title: Hypoellipticité maximale pour des opérateurs polynômes de champs de vecteurs. (Maximal hypoellipticity for polynomial operators of vector fields)
zbMATH Open document ID: 0568.35003
author: Bernard Helffer
author: J. Nourrigat
published in: Progress in Mathematics
publication date: 1985-01-01T00:00:00Z
review text: Le contenu de ce livre est formé des nombreux résultats obtenus durant la dernière décade, principalement par les deux auteurs, sur l'hypoellipticité maximale d'opérateurs différentiels qui sont polynômes de champs de vecteurs. Ces opérateurs différentiels ont leur origine dans le fameux article de \textit{L. Hörmander} [Acta Math. 119(1967), 147-171 (1968; Zbl 0156.107)] sur les sommes des carrés de champs de vecteurs, article dans lequel apparaît la condition, connue maintenant sous le nom be ''condition d'Hörmander''. L'étude de tels opérateurs a mené les spécialistes qui s'y sont intéressés à voir les choses du côté groupes et algèbres de Lie (travaux de Rothschild-Stein, Folland, Rockland, Melin, les auteurs, etc...). L'objet de ce livre est de donner sous une forme unifiée des résultats généraux liés à une conjecture qu'ils énoncent conjecture généralisant celle de Rockland. Voici une très brève analyse du contenu de ce livre. Le chapitre I est consacré à la présentation de l'objectif. Les auteurs considèrent des champs de vecteurs réels de classe \(C^{\infty}\) \(X_ i\), \(i=1,...,p\) dans un ouvert \(\Omega\), voisinage de \(x_ 0\) dans \({\mathbb{R}}^ n\), vérifiant l'hypothèse de Hörmander en \(x_ 0\) (de rang r): les champs \(X_ i\) et leurs crochets d'ordre inférieur ou égal à r engendrent tout l'espace tangent en \(x_ 0\) à \(\Omega\). Un opérateur, polynôme des champs \(X_ i\), est un opérateur différentiel sur \(\Omega\) s'écrivant sous la forme \(P=\sum_{| \alpha | \leq m}a_{\alpha}(x)X^{\alpha}\), \(x\in \Omega\), où \(\alpha =(\alpha_{i_ 1},...,\alpha_{i_ p})\in {\mathbb{N}}^ p\) et \(X^{\alpha}=X_{i_ 1}^{\alpha_{i_ 1}}...X_{i_ p}^{\alpha_{i_ p}},\quad | \alpha | =\alpha_{i_ 1}+...+\alpha_{i_ p}.\) \(a_{\alpha}\) étant des fonctions complexes sur \(\Omega\). Alors P est hypoelliptique maximal en \(x_ 0\) s'il existe un voisinage V de \(x_ 0\) tel que \[ \sum_{| \alpha | \leq m}\| X^{\alpha}u\|^ 2\leq C(\| Pu\|^ 2+\| u\|^ 2),\quad \forall u\in C_ 0^…
Mathematics Subject Classification ID: 35-02
Mathematics Subject Classification ID: 65H10
Mathematics Subject Classification ID: 35N10
Mathematics Subject Classification ID: 47F05
zbMATH DE Number: 3906936
zbMATH Keywords: vector field
zbMATH Keywords: maximal hypoellipticity
zbMATH Keywords: Hörmander condition
zbMATH Keywords: representation theory
zbMATH Keywords: maximal estimate
MaRDI profile type: Publication
description: scientific article; zbMATH DE number 3906936