Estimates for a class of integral operators and applications to the \({\bar\partial}\)-Neumann-problem
Es sei G ein streng pseudokonvexes Gebiet mit glattem Rand in einer hermiteschen Mannigfaltigkeit X mit Metrik \(ds^ 2\). \(P: L^ 2(G)\to L^ 2\cap {\mathcal S}\) sei die orthogonale Projektion des Raumes der über G quadratintegrablen Funktionen auf die holomorphen quadratintegrablen Funktionen, \({\bar \partial}^*\) der Hilbert-adjungierte Operator zum Operator \({\bar \partial}\) der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen und N der \({\bar \partial}\)-Neumann-Operator von G. P, \({\bar \partial}^*\) und N hängen von der Metrik \(ds^ 2\) ab. Wir beweisen: (1) \(\| f-Pf\|_{C^{k+1/2}}\leq const(\| f\|_{L^ 2}+\| {\bar \partial}f\|_{C^ k}).\) (2) Falls \(ds^ 2\) eine Levi-Metrik ist, gilt für Formen \(f\in L^ 2_{0q}(G)\) und \(q\geq 1:\) \(\| f\|_{C^{k+1/2}}\leq const(\| f\|_{L^ 2}+\| {\bar \partial}f\|_{C^ k}+\| {\bar \partial}^*f\|_{C^ k}).\) (3) Im Falle einer normalisierten Levi-Metrik ist der Hauptteil von \({\bar \partial}^*N\) ein expliziter linearer Integraloperator mit gemischt isotrop-anisotroper Singularität vom ''Glättungstyp 1''. Die Ungleichungen (1) und (2) enthalten oder ersetzen alle bisher erzielten Ergebnisse über \(C^ k\)-reguläre Lösungen der Cauchy- Riemannschen Differentialgleichungen auf streng pseudokonvexen Gebieten. - Beweismethode ist: (a) eine Integraldarstellung für Formen f mittels einer Parametrix für \({\bar \partial}\oplus {\bar \partial}^*\), die in einer vorherigen Arbeit der Autoren [''Integral representations and estimates in the theory of the \({\bar \partial}\)-Neumann problem'' (erscheint in Ann. Math., II. Ser.)] hergeleitet wurde; (b) Abschätzungen für die in der Darstellung auftretenden Kerne. Diese Abschätzungen bilden den Hauptteil der Arbeit.
scientific article; zbMATH DE number 3908823