Estimates for a class of integral operators and applications to the \({\bar\partial}\)-Neumann-problem
type: Item
instance of: scholarly article
title: Estimates for a class of integral operators and applications to the \({\bar\partial}\)-Neumann-problem
zbMATH Open document ID: 0569.32008
DOI: 10.1007/BF01389097
author: Ingo Lieb
author: R. Michael Range
published in: Inventiones Mathematicae
publication date: 1986-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/143375
review text: Es sei G ein streng pseudokonvexes Gebiet mit glattem Rand in einer hermiteschen Mannigfaltigkeit X mit Metrik \(ds^ 2\). \(P: L^ 2(G)\to L^ 2\cap {\mathcal S}\) sei die orthogonale Projektion des Raumes der über G quadratintegrablen Funktionen auf die holomorphen quadratintegrablen Funktionen, \({\bar \partial}^*\) der Hilbert-adjungierte Operator zum Operator \({\bar \partial}\) der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen und N der \({\bar \partial}\)-Neumann-Operator von G. P, \({\bar \partial}^*\) und N hängen von der Metrik \(ds^ 2\) ab. Wir beweisen: (1) \(\| f-Pf\|_{C^{k+1/2}}\leq const(\| f\|_{L^ 2}+\| {\bar \partial}f\|_{C^ k}).\) (2) Falls \(ds^ 2\) eine Levi-Metrik ist, gilt für Formen \(f\in L^ 2_{0q}(G)\) und \(q\geq 1:\) \(\| f\|_{C^{k+1/2}}\leq const(\| f\|_{L^ 2}+\| {\bar \partial}f\|_{C^ k}+\| {\bar \partial}^*f\|_{C^ k}).\) (3) Im Falle einer normalisierten Levi-Metrik ist der Hauptteil von \({\bar \partial}^*N\) ein expliziter linearer Integraloperator mit gemischt isotrop-anisotroper Singularität vom ''Glättungstyp 1''. Die Ungleichungen (1) und (2) enthalten oder ersetzen alle bisher erzielten Ergebnisse über \(C^ k\)-reguläre Lösungen der Cauchy- Riemannschen Differentialgleichungen auf streng pseudokonvexen Gebieten. - Beweismethode ist: (a) eine Integraldarstellung für Formen f mittels einer Parametrix für \({\bar \partial}\oplus {\bar \partial}^*\), die in einer vorherigen Arbeit der Autoren [''Integral representations and estimates in the theory of the \({\bar \partial}\)-Neumann problem'' (erscheint in Ann. Math., II. Ser.)] hergeleitet wurde; (b) Abschätzungen für die in der Darstellung auftretenden Kerne. Diese Abschätzungen bilden den Hauptteil der Arbeit.
Mathematics Subject Classification ID: 32W05
Mathematics Subject Classification ID: 32T99
Mathematics Subject Classification ID: 47B38
Mathematics Subject Classification ID: 46J15
zbMATH DE Number: 3908823
zbMATH Keywords: strictly pseudoconvex domain
zbMATH Keywords: integral representation of forms
zbMATH Keywords: \(\partial \)-bar-Neumann-problem
MaRDI profile type: Publication
cites work: Holomorphic Lipschitz Functions in Pseudoconvex Domains
cites work: Hölderabschätzungen für Ableitungen von Lösungen der Gleichung \(\bar \partial u = f\) bei streng pseudokonvexem Rand
cites work: The Neumann Problem for the Cauchy-Riemann Complex. (AM-75)
cites work: Q4125200
cites work: Hölder and Lp estimates for solutions of ∂u = f in strongly pseudoconvex domains
cites work: Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen auf streng pseudokonvexen Gebieten. Beschränkte Lösungen
cites work: Integral representations and estimates in the theory of the \({\bar\partial}\)-Neumann problem
cites work: The Hölder continuity of the Bergman projection and proper holomorphic mappings
cites work: On integral representations for the Neumann operator
cites work: Estimates for the Bergman and Szegö projections on strongly pseudo-convex domains
cites work: Singular integrals related to the Radon transform and boundary value problems
OpenAlex ID: W1966183015
description: scientific article; zbMATH DE number 3908823