\({\mathcal D}\)-modules et faisceaux pervers dont le support singulier est un croisement normal
Le but de ce travail est de généraliser en dimension supérieure la remarque de B. Malgrange selon laquelle un \({\mathcal D}\)-Module holonome M sur un petit disque \(X\subset {\mathbb{C}}\), à singularité régulière à l'origine est défini à isomorphisme près par les couples d'espaces vectoriels de dimension finie: \(E=Hom_{{\mathcal D}}(M(X),{\mathcal O}(D-{\mathbb{R}}^+)\), \(F=Hom_{{\mathcal D}}(M(X),{\mathcal O}(D- {\mathbb{R}}^+)/{\mathcal O}(D))\) correspondant aux solutions holomorphes et microfonctions, reliées par le morphisme canonique \(u: E\to F\) et le morphisme variation \(v: F\to E\) qui vérifient la condition: \(Id+vu\) est un isomorphisme. Dans Enseign. Math., II. Sér. 30, 7-38 (1984; Zbl 0542.14008), \textit{J. Briançon} et \textit{P. Maisonobe} trouvent une approche naturelle de ce point de vue. - Soit X un polydisque ouvert, centré en zéro de \({\mathbb{C}}^ n\) et muni de coordonnées \(z_ 1,...,z_ n\) et soit T le croisement normal d'équation \(z_ 1...z_ n=0\). Notons \({\mathcal O}_ X\) le faisceau des fonctions holomorphes sur X; \({\mathcal D}_ X\) le faisceau des opérateurs différentiels à coefficients dans \({\mathcal O}_ X\); (\({\mathcal D}^ T_ X)_{hr}\) la catégorie des \({\mathcal D}_ X\)-Modules holonomes à singularité régulière, dont la variété caractéristique se projette sur T; \({\mathcal C}_ n\) la catégorie des n-hypercubes de \({\mathbb{C}}\)-espaces vectoriels de dimension finie \(\{F_ I,I\subset \{1,2,...,n\}\}\) reliés par deux familles d'applications linéaires \(F_ I\rightleftarrows^{u_ i}_{v_ i}F_{I\cup \{i\}}\) assujettis à certaines conditions de commutativité: \(u_ iu_ j=u_ ju_ i\), \(v_ iv_ j=v_ jv_ i\), \(u_ iv_ j=v_ ju_ i\) et tels que \(Id+v_ iu_ i\) soit un isomorphisme. Nous démontrons le théorème suivant: Il existe une équivalence de catégorie entre (\({\mathcal D}^ T_ X)_{hr}\) et \({\mathcal C}_ n\).
scientific article; zbMATH DE number 3912745
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