Koeffizientenwachstum bei der Approximation durch verallgemeinerte Polynome
Es sei \(C_ 0[0,q]\) die Klasse der auf [0,q] \((0<q\leq \infty)\) stetigen Funktionen mit \(f(q)=0\). Mit funktionalanalytischen Hilfsmitteln wird bewiesen: Ist S ein System von Funktionen \(K_ n\in C_ 0[0,q]\), und sind \(c_ n\) \((n=1,2,...)\) positive Zahlen, so gibt es genau dann zu jedem \(f\in C_ 0[0,q]\) und zu jedem \(\epsilon >0\) ein \(P(s)=\sum^{N}_{n=1}a_ nK_ n(s)\) mit \(| f(s)-P(s)| <\epsilon\) (s\(\in [0,q])\) und \(\sum^{N}_{n=1}| a_ n| c_ n<\epsilon\), wenn die Identitätsbedingung \(I_{[0,q]}(K_ n,c)\) gilt. Dabei bedeutet \(I_{[0,q]}(K_ n,c_ n)\), daß \(\int^{q}_{0}K_ n(t)d\alpha (t)=O(c_ n)\) (n\(\to \infty)\), \(\int^{q}_{0}| d\alpha (t)<\infty\) bei normierten \(\alpha\) stets \(\alpha (t)=0\) auf [0,q] impliziert. Als Anwendungen werden unter anderem Ergebnisse von \textit{M. v. Golitschek} and \textit{D. Leviatan} [J. Math. Anal. Appl. 60, 123-138 (1977; Zbl 0356.41002)] verschärft, und es wird z.B. gezeigt: Ist \(\lambda_ n>0\), \(\sum^{\infty}_{n=1}\lambda_ n^{-1}=\infty\) und \(\lambda_{n+1}-\lambda_ n\geq c>0\), dann existiert zu jedem \(f\in C[a,b]\), \(0<a<b<\infty\) und zu jedem \(\epsilon >0\) ein \(P(x)=\sum^{N}_{n=0}a_ nx^{\lambda_ n}\) mit \(| f(x)-P(x)| <\epsilon\) auf [a,b] und \(a_ 0=f(a)\), \(\sum^{N}_{n=1}| a_ n| a^{\lambda_ n}<\epsilon\).
scientific article; zbMATH DE number 3912933