Further results on a problem of homogenization with constraints on the gradient
Die Verff. untersuchen das von einem reellen Parameter \(h\) abhängige Variationsproblem \[ (1)\quad \min_{u\in S_ h} (\int_{\Omega}f(hx,Du(x))dx+ \int_{\Omega}\alpha(x)u(x)dx). \] Hierbei ist \(\Omega \subset {\mathbb{R}}^ n\) ein Gebiet \(f\), \(\phi\) sind periodische Funktionen, und \[ S_ h:=\{u\in \text{Lip}_{loc}({\mathbb{R}}^ n),\quad | Du(x)| \leq \phi(hx)\text{ fast überall, } u=0 \text{ auf }\partial\Omega\}. \] Die Verff. [J. Math. Anal. Appl. 90, 219- 250 (1982; Zbl 0499.49007)] zeigen unter der Voraussetzung (2) \(0<m<\phi(x)\) \(\forall x\in {\mathbb{R}}^ n\), daß die Lösung \(u_ h\) von (1) für \(h\to \infty\) gegen die Lösung eines Minimierungsproblems konvergiert. In der vorliegenden Arbeit wird dieses Ergebnis erweitert auf den Fall, daß statt (2) die schwächere Bedingung \[ 0<m\leq \phi(x)\quad \forall x\in [0,1]^ n\setminus [-\vartheta,+\vartheta]^ n \] mit einem \(\vartheta\in [0,)\) gilt.
scientific article; zbMATH DE number 3916807
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