Ein Randwertproblem für eine nichtlineare Gleichung gemischten Typs im \(R^ 3\). (A boundary value problem for a nonlinear equation of mixed type in \(R^ 3)\)
type: Item
instance of: scholarly article
title: Ein Randwertproblem für eine nichtlineare Gleichung gemischten Typs im \(R^ 3\). (A boundary value problem for a nonlinear equation of mixed type in \(R^ 3)\)
zbMATH Open document ID: 0575.35067
DOI: 10.4171/ZAA/118
author: A. Müller-Rettkowski
published in: Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen
publication date: 1984-01-01T00:00:00Z
review text: Untersucht wird in einem einfach zusammenhängenden Gebiet \(G\subset {\mathbb{R}}^ 3\) die Differentialgleichung \[ Tu=Lu-u| u|^ p=f(x,u)\quad (p>0)\quad mit\quad Lu=k(x_ 3)u_{x_ 1x_ 1}+u_{x_ 2x_ 2}+u_{x_ 3x_ 3}+cu, \] k(x\({}_ 3)=sign x_ 3| x_ 3|^ m\) \((m>0\), \(c=const.\leq 0)\). Dabei wird G mit \(G\cap \{x_ 3=3\}\neq \emptyset\) berandet von der glatten Fläche \(S_ 0: x_ 3=h(x_ 1,x_ 2)\) und den beiden charakteristischen Flächen \(S_ 1: x_ 1-1+(2/m+2)(-x_ 3)^{m/2+1}=0\) \((x_ 3\leq 0\), \(x_ 2\in [a_ 1,b_ 1])\), \(S_ 2: -x_ 1-1+(2/m+2)(-x_ 3)^{m/2+1}=0\) \((x_ 3\leq 0\), \(x_ 2\in [a_ 2,b_ 2])\), \(x_ 1+1|_ G>0\). Für das Randwertproblem \(Tu=f\) in G, \(u|_{S_ 0\cup S_ 1}=0\) wird die Lösbarkeit in einem verallgmeinerten Sinn unter Voraussetzungen \(S_ 0\), \(S_ 1\), f, m nachgewiesen. Dabei werden gewichtete Sobolev-Räume verwendet. Mit Hilfe der a-b-c-Methode werden a-priori-Abschätzungen hergeleitet, eine Folge von Näherungsproblemen wird gelöst, und diese Lösungen konvergieren gegen die gesuchte Lösung.
reviewed by: K.Hardenberg
Mathematics Subject Classification ID: 35M99
Mathematics Subject Classification ID: 35D05
Mathematics Subject Classification ID: 35A35
Mathematics Subject Classification ID: 35B45
Mathematics Subject Classification ID: 46E35
zbMATH DE Number: 3918943
zbMATH Keywords: existence
zbMATH Keywords: generalized solution
zbMATH Keywords: weighted Sobolev space
zbMATH Keywords: a priori estimate
zbMATH Keywords: a-b-c method
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: https://doi.org/10.4171/zaa/118
OpenAlex ID: W2564077694
Recommended article: Boundary value problems for nonlinear differential equations of mixed - composite type in R3
Recommended article: Q3687115
Recommended article: Q3764575
Recommended article: Q4993761
Recommended article: A nonlocal boundary value problem for a class of nonlinear equations of mixed type
Recommended article: Q3816441
Recommended article: A boundary problem for a nonlinear equation of mixed type
Recommended article: Q3027539
Recommended article: Q3985213
Recommended article: Q3697486
description: scientific article; zbMATH DE number 3918943