On the Morse complex
type: Item
instance of: scholarly article
title: On the Morse complex
zbMATH Open document ID: 0575.58015
DOI: 10.1007/BF01163169
published in: Mathematische Zeitschrift
publication date: 1984-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/173474
review text: Eine differenzierbare reelle Funktion f auf einer vollständigen Riemannschen Mannigfaltigkeit M heißt eine selbstindizierende Morsefunktion, falls f nach unten beschränkt ist, nur nicht ausgeartete kritische Punkte hat, und es eine streng monoton wachsende Folge reeller Werte \((a_{\lambda})_{\lambda =0,1,2,...}\) gibt, so daß in \(]a_{\lambda -1},a_{\lambda}[\) genau ein kritischer Wert \(c_{\lambda}\) liegt, zu dem es nur endlich viele kritische Punkte vom Index \(\lambda\) gibt. Sei \(M_{\lambda}=f^{-1}]- \infty,a_{\lambda}]\). Dann bilden \(C_{\lambda}:=\prod_{\lambda}(M_{\lambda},M_{\lambda -1})\) und der Randoperator \(\partial_{\lambda}: C_{\lambda}\to C_{\lambda - 1}\) der exakten Folge des Tripels \((M_{\lambda},M_{\lambda - 1},M_{\lambda -2})\) den (algebraischen) Morsekomplex. Ähnlich wie beim Zellenkettenkomplex eines CW-Komplexes ist seine Homologie gleich der Homologie von M; denn der Übergang von \(M_{\lambda -1}\) zu \(M_{\lambda}\) geht durch Anheften von Henkeln vonstatten, was homotopietheoretisch auf das Anheften von Zellen hinausläuft. Analog wie beim Zellenkettenkomplex kann man dann auch hier den Randoperator geometrisch durch eine Inzidenzmatrix beschreiben. Der Fall, daß M unendlich dimensional ist, wird in dieser Arbeit besonders angesprochen. Dabei muß man die Existenz einer nach unten beschränkten Morsefunktion voraussetzen, welche die Bedingung (C) von Palais und Smale erfüllt und nur endlich viele kritische Punkte für jeden festen Index \(\lambda\) hat.
Mathematics Subject Classification ID: 58E05
Mathematics Subject Classification ID: 37D15
Mathematics Subject Classification ID: 57R70
Mathematics Subject Classification ID: 57R65
zbMATH DE Number: 3919402
zbMATH Keywords: Morse theory
zbMATH Keywords: Morse-Smale systems
zbMATH Keywords: critical points
zbMATH Keywords: handlebodies
author: Xiao-Wei Peng
reviewed by: Adolf Riede
MaRDI profile type: Publication
cites work: Q5558469
cites work: Q4181002
cites work: Riemannian geometry
cites work: Q3334574
cites work: Q4157293
cites work: Morse Theory. (AM-51)
cites work: Q5543303
cites work: Morse theory on Hilbert manifolds
cites work: An Infinite Dimensional Version of Sard's Theorem
description: scientific article; zbMATH DE number 3919402