On the Fermat-Catalan equation
type: Item
instance of: scholarly article
title: On the Fermat-Catalan equation
zbMATH Open document ID: 0577.10016
published in: Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (DMV)
publication date: 1985-01-01T00:00:00Z
review text: Verf. betrachtet die Diophantische Gleichung (*) \(x^ m-y^ n=1\), \(x,y\in \mathbb Q\), \(m,n\geq 2\). Da sie für \(m=n\) die Fermat-Gleichung und für \(x,y\in\mathbb Z\) die Catalan-Gleichung ergibt, erklärt sich der Titel der Arbeit. Bekanntlich kennt man für \(n>2\) keine Lösung der Fermat-Gleichung, und die einzige bekannte Lösung der Catalan-Gleichung ist \(| x| =n=3\), \(y=m=2.\) Eines der elementaren Ergebnisse über das Catalansche Problem stammt von \textit{C. Størmer} [C. R. Acad. Sci., Paris 127, 752--754 (1898; JFM 29.0160.01)] und besagt, daß es für feste ganze Zahlen \(x,y\) höchstens eine (durch \(x\) und \(y\) effektiv bestimmte) Lösung \(m,n\) gibt. Einer der großen Fortschritte war der Beweis des Verf. [Acta Arith. 29, 197--209 (1976; Zbl 0286.10013)], daß \(\{(x,y,m,n)\in\mathbb N^ 4\mid x,y,m,n\geq 2\}\) eine endliche Menge ist und sogar eine obere Schranke für die Werte von \(x\) und \(y\) effektiv berechenbar ist. In der vorliegenden Arbeit berichtet Verf. über ein Theorem, das für die rationalen Lösungen \((x,y)\) von (*) die Zähler von \(x\) und \(y\) durch deren Nenner (in einer expliziten, von \(m\) und \(n\) abhängigen Weise) nach oben und unten beschränkt. Wichtige Hilfsmittel des Beweises sind einerseits die Bakerschen Abschätzungen von Linearformen in Logarithmen, andererseits das Resultat von Faltings, daß (*) für festes \((m,n)\), \(mn\geq 6\) (\(\neq (4,2)\), \((2,4)\), \((3,3)\), \((3,2)\), \((2,3)\)) nur endlich viele rationale Lösungen hat, denn dann besitzt die durch (*) definierte Kurve ein Geschlecht \(\geq 2.\) Der Artikel basiert auf einem Vortrag des Verf. auf der DMV-Tagung in Köln 1983, so daß die Arbeiten von Heath-Brown und Fouvry über das Fermat-Problem [vgl. \textit{D. R. Heath-Brown}, Math. Intell. 7, No. 4, 40--47, 55 (1985; Zbl 0574.10022)] noch nicht verwertet werden konnten. Auch \textit{P. Ribenboim}s Geschichte des Catalanschen Problems [Expo. Math. 2, 193--221 (1984; Zbl 0537.10009)] mußte fehlen. Im übrigen ist…
reviewed by: Bernd Richter
Mathematics Subject Classification ID: 11D61
Mathematics Subject Classification ID: 11D41
Mathematics Subject Classification ID: 11J86
zbMATH DE Number: 3922752
zbMATH Keywords: Fermat equation
zbMATH Keywords: Catalan equation
zbMATH Keywords: perfect powers
zbMATH Keywords: Fermat-Catalan equation
zbMATH Keywords: bounds for rational solutions
zbMATH Keywords: Baker's method
zbMATH Keywords: linear forms in logarithms
zbMATH Keywords: Faltings' result
author: R. Tijdeman
MaRDI profile type: Publication
description: scientific article; zbMATH DE number 3922752