Nonlinear representations of connected nilpotent real Lie groups
Nichtlineare Darstellungen von Liegruppen wurden systematisch von M. Flato, G. Pinczon und J. Simon untersucht. Unter einer formellen Darstellung einer reellen Liegruppe G in einem Hilbertraum E versteht man dabei einen Homomorphismus S von G in die Gruppe der bezüglich der Komposition invertiblen Elemente von \({\mathcal F}_ 0(E)\), der Menge aller formellen Potenzreihen des Typs \(\sum_{n\geq 1}f^ n\), \(f^ n\) stetige symmetrische n-lineare Abbildung von E, so daß für \(S_ g=\sum_{n\geq 1}S^ n_ g\) und \(x_ i\in E\) \((i=1,...,n)\) die Abbildungen \(g\mapsto S^ n_ g(x_ 1,...,x_ n)\) stetig sind. Wenn man hier Analytizität fordert, nennt man die Darstellung analytisch. Flato-Pinczon-Simon haben gezeigt, daß jede analytische Darstellungen einer zusammenhängenden nilpotenten reellen Liegruppe, so daß der Linearteil \(S^ 1\) unitär, irreduzibel und nichttrivial ist, äquivalent zu einer linearen Darstellung ist. Für halbeinfache Gruppen war dies eine Vermutung von Palais und Smale, die von Guillemin- \(Sternberg\), Hermann und Kushnirenko bewiesen wurde. In der vorliegenden Arbeit wird nun für nilpotente Gruppen der allgemeinere Fall, daß \(S^ 1\) eine endliche Summe irreduzibler unitärer Darstellungen ist, untersucht. Anstelle der Linearisierung muß man sich hier mit Normalformen, in denen zusätzlich zum Linearteil noch sog. Resonanzterme auftreten, begnügen. Wenn der lineare Teil eine Homogenitätseigenschaft erfüllt und der Raum E endlich-dimensional ist, führt das Problem auf die Normalisierung bzw. Linearisierung eines formellen Vektorfeldes mit dem Ursprung als kritischem Punkt und diagonalisierbarem Linearteil. Während sich der unendlich-dimensionale Fall unter der Homogenitätsbedingung analog behandeln läßt, treten im inhomogenen Fall Schwierigkeiten auf. Der Autor kann aber auch hier Bedingungen für die Existenz einer analytischen Normalisierung angeben.
scientific article; zbMATH DE number 3923004
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