Über die Faktorkommutatorgruppe der Gruppen \(SL_ 2(O)\) im Funktionenkörperfall
Für arithmetische Gruppen \(\Gamma\) ist die erste Kohomologiegruppe mit rationalen Koeffizienten \(H^ 1(\Gamma;{\mathbb{Q}})\), die ja isomorph zur mit \({\mathbb{Q}}\) tensorierten Faktorkommutatorgruppe \(\Gamma^{ab}\otimes_ Z{\mathbb{Q}}\) ist, häufig Null. Falls etwa \(O_ S\) ein Ring S-ganzer Größen im globalen Körper K, \(\Gamma\) eine Untergruppe von endlichem Index in \(SL_ n(O_ S)\) ist, weiß man, daß \(\Gamma^{ab}\otimes {\mathbb{Q}}=0\) mit Ausnahme der Fälle: (a) K\(={\mathbb{Q}}\), \(S=\{\infty \}\), \(\Gamma \subset SL_ 2({\mathbb{Z}})\); (b) K\(={\mathbb{Q}}(\sqrt{d})\), \(d<0\), \(S=\{\infty \}\), \(\Gamma \subset SL_ 2(O_ S)\); (c) K ein Funktionenkörper vom Transzendenzgrad 1 über \(k={\mathbb{F}}_ q\), \(S=\{\infty \}\), \(O=O_ S\) der Ring der außerhalb von S holomorphen algebraischen Funktionen. Für hinreichend kleine Kongruenzuntergruppen \(\Gamma \subset SL_ 2(O)\) ist hier - ebenso wie in (a) - eine explizite Formel für \(h_ 1(\Gamma):=\dim (\Gamma^{ab}\otimes {\mathbb{Q}})\) bekannt. In der vorliegenden Arbeit wird der Fall \(\Gamma =SL_ 2(O)\) untersucht und insbesondere eine Formel für \(h_ 1(\Gamma)\) angegeben, falls \((k(\infty):k)=1\).
scientific article; zbMATH DE number 3925103