Über die Faktorkommutatorgruppe der Gruppen \(SL_ 2(O)\) im Funktionenkörperfall
type: Item
instance of: scholarly article
title: Über die Faktorkommutatorgruppe der Gruppen \(SL_ 2(O)\) im Funktionenkörperfall
zbMATH Open document ID: 0578.20035
DOI: 10.1007/BF01246121
author: Ulrich Stuhler
published in: Archiv der Mathematik
publication date: 1984-01-01T00:00:00Z
review text: Für arithmetische Gruppen \(\Gamma\) ist die erste Kohomologiegruppe mit rationalen Koeffizienten \(H^ 1(\Gamma;{\mathbb{Q}})\), die ja isomorph zur mit \({\mathbb{Q}}\) tensorierten Faktorkommutatorgruppe \(\Gamma^{ab}\otimes_ Z{\mathbb{Q}}\) ist, häufig Null. Falls etwa \(O_ S\) ein Ring S-ganzer Größen im globalen Körper K, \(\Gamma\) eine Untergruppe von endlichem Index in \(SL_ n(O_ S)\) ist, weiß man, daß \(\Gamma^{ab}\otimes {\mathbb{Q}}=0\) mit Ausnahme der Fälle: (a) K\(={\mathbb{Q}}\), \(S=\{\infty \}\), \(\Gamma \subset SL_ 2({\mathbb{Z}})\); (b) K\(={\mathbb{Q}}(\sqrt{d})\), \(d<0\), \(S=\{\infty \}\), \(\Gamma \subset SL_ 2(O_ S)\); (c) K ein Funktionenkörper vom Transzendenzgrad 1 über \(k={\mathbb{F}}_ q\), \(S=\{\infty \}\), \(O=O_ S\) der Ring der außerhalb von S holomorphen algebraischen Funktionen. Für hinreichend kleine Kongruenzuntergruppen \(\Gamma \subset SL_ 2(O)\) ist hier - ebenso wie in (a) - eine explizite Formel für \(h_ 1(\Gamma):=\dim (\Gamma^{ab}\otimes {\mathbb{Q}})\) bekannt. In der vorliegenden Arbeit wird der Fall \(\Gamma =SL_ 2(O)\) untersucht und insbesondere eine Formel für \(h_ 1(\Gamma)\) angegeben, falls \((k(\infty):k)=1\).
Mathematics Subject Classification ID: 20G30
Mathematics Subject Classification ID: 20G10
Mathematics Subject Classification ID: 20H05
Mathematics Subject Classification ID: 11R58
zbMATH DE Number: 3925103
zbMATH Keywords: first cohomology groups
zbMATH Keywords: global fields
zbMATH Keywords: congruence subgroups
reviewed by: Heinrich Reitberger
MaRDI profile type: Publication
cites work: Solution of the congruence subgroup problem for \(\text{SL}_ n\) \((n\geq 3)\) and \(\text{Sp}_{2n}\) \((n\geq 2)\)
cites work: Q3885948
cites work: Q3890820
cites work: Die Kohomologie S-arithmetischer Gruppen über Funktionenkörpern
cites work: Q5637658
cites work: Le problème des groupes de congruence pour \(SL_2\)
cites work: Homological properties of certain arithmetic groups in the function field case
full work available at URL: https://doi.org/10.1007/bf01246121
OpenAlex ID: W3005667579
description: scientific article; zbMATH DE number 3925103