A class of nonlinear singular integral and integro-differential equations with Hilbert kernel
type: Item
instance of: scholarly article
title: A class of nonlinear singular integral and integro-differential equations with Hilbert kernel
zbMATH Open document ID: 0578.45013
DOI: 10.4171/ZAA/161
author: Lothar von Wolfersdorf
published in: Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen
publication date: 1985-01-01T00:00:00Z
review text: Der Verf. betrachtet die quasilineare Integro-Differentialgleichung \((+)\) \(\phi '(s)+H[M(\cdot,\phi),\phi'](s)=F(s)+H[N(\cdot,\phi)](s)\) fast überall auf \([-\pi,\pi]\) mit der Zusatzbedingung \(\phi(0)=k\) oder \((1/2\pi)\int^{\pi}_{-\pi}\phi (s)ds=c\), wobei k, \(c\in {\mathbb{R}}\) und \(H[\omega](s)=(1/2\pi)\int^{\pi}_{-\pi}\omega (\sigma)\cot ((\sigma - s)/2)d\sigma\) und die Integralgleichung (*) \(\phi (s)+H[m(\cdot,\phi)](s)+K[n(\cdot,\phi)](s)=f(s)\) fast überall auf \([- \pi,\pi],\) wobei \[ K[\omega](s)=(1/2\pi)\int^{\pi}_{-\pi}\omega (\sigma)\ln (4 \sin^ 2((\sigma -s)/2)))d\sigma. \] Unter geeigneten Voraussetzungen läßt sich das Problem (*) in eine Integro- Differentialgleichung der Form \((+)\) umwandeln. Es werden vier Sätze bewiesen, die die Existenz einer \(2\pi\)-periodischen Lösung \(\phi \in W^ 1_ p(-\pi,\pi)\) mit geeignetem \(p>1\) sichern. Die Beweise basieren auf der Zurückführung des Problems \((+)\) auf ein Fixpunktproblem und anschließende Anwendung des Schauderschen Fixpunktsatzes. Als Anwendung des vierten Existenzsatzes erhält man die Existenz einer Lösung der Theodorsenschen Gleichung. Für stetige Lösungen der Integralgleichung (*) wird ein einfacher Eindeutigkeitssatz bewiesen.
Mathematics Subject Classification ID: 45J05
Mathematics Subject Classification ID: 45G05
zbMATH DE Number: 3925531
zbMATH Keywords: Hilbert kernel
zbMATH Keywords: quasilinear singular integro-differential
zbMATH Keywords: equations
zbMATH Keywords: Schauder fixed point theorem
zbMATH Keywords: existence
zbMATH Keywords: Theodorsen
zbMATH Keywords: integral equation
zbMATH Keywords: conformal mapping
zbMATH Keywords: Riemann-Hilbert problem
zbMATH Keywords: Poincaré problem
reviewed by: Walter Petry
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: https://doi.org/10.4171/zaa/161
OpenAlex ID: W2565386883
description: scientific article; zbMATH DE number 3925531