A class of nonlinear singular integral and integro-differential equations with Hilbert kernel
Der Verf. betrachtet die quasilineare Integro-Differentialgleichung \((+)\) \(\phi '(s)+H[M(\cdot,\phi),\phi'](s)=F(s)+H[N(\cdot,\phi)](s)\) fast überall auf \([-\pi,\pi]\) mit der Zusatzbedingung \(\phi(0)=k\) oder \((1/2\pi)\int^{\pi}_{-\pi}\phi (s)ds=c\), wobei k, \(c\in {\mathbb{R}}\) und \(H[\omega](s)=(1/2\pi)\int^{\pi}_{-\pi}\omega (\sigma)\cot ((\sigma - s)/2)d\sigma\) und die Integralgleichung (*) \(\phi (s)+H[m(\cdot,\phi)](s)+K[n(\cdot,\phi)](s)=f(s)\) fast überall auf \([- \pi,\pi],\) wobei \[ K[\omega](s)=(1/2\pi)\int^{\pi}_{-\pi}\omega (\sigma)\ln (4 \sin^ 2((\sigma -s)/2)))d\sigma. \] Unter geeigneten Voraussetzungen läßt sich das Problem (*) in eine Integro- Differentialgleichung der Form \((+)\) umwandeln. Es werden vier Sätze bewiesen, die die Existenz einer \(2\pi\)-periodischen Lösung \(\phi \in W^ 1_ p(-\pi,\pi)\) mit geeignetem \(p>1\) sichern. Die Beweise basieren auf der Zurückführung des Problems \((+)\) auf ein Fixpunktproblem und anschließende Anwendung des Schauderschen Fixpunktsatzes. Als Anwendung des vierten Existenzsatzes erhält man die Existenz einer Lösung der Theodorsenschen Gleichung. Für stetige Lösungen der Integralgleichung (*) wird ein einfacher Eindeutigkeitssatz bewiesen.
quasilinear singular integro-differential
scientific article; zbMATH DE number 3925531