Mittlere Schattengrenzenlänge konvexer Körper
type: Item
instance of: scholarly article
title: Mittlere Schattengrenzenlänge konvexer Körper
zbMATH Open document ID: 0578.52004
DOI: 10.1007/BF03322658
author: P. Steenaerts
published in: Results in Mathematics
publication date: 1985-01-01T00:00:00Z
review text: Im n-dimensionalen euklidischen Raum \(E^ n\) sei K ein beliebiger konvexer Körper (kompakte konvexe Punktmenge mit Innenpunkten). Es seien \(\alpha\) (K) die mittlere Schattengrenzenlänge von K, \(\beta\) (K) die mittlere Länge des relativen Randes der Normalprojektion von K auf eine Hyperebene, B eine n-Vollkugel und P ein n-Polytop. P. McMullen vermutete 1974 für \(n=3:\) \[ 1=\alpha (B)/\beta (B)\leq \alpha (K)/\beta (K)\leq \alpha (P)/\beta (P). \] Das Hauptresultat der Arbeit besteht für \(n\geq 3\) im Nachweis dieser Vermutung für glatte konvexe Körper (solche, die in jedem Randpunkt eine eindeutig bestimmte Stützhyperebene besitzen). Der Nachweis erfolgt durch polyedrische Approximation eines konvexen Körpers K und durch Reduktion der Kernfrage auf ein rein maßtheoretisches Problem. Eine zentrale Rolle innerhalb des Beweises spielt die Unterhalbstetigkeit des Funktionals \(\alpha\) (K) beim Grenzübergang von Polytopen zu gekrümmten Körpern, die im wesentlichen aus einer Additivitätseigenschaft der Lebesgue-Fläche folgt.
reviewed by: Oswald Giering
Mathematics Subject Classification ID: 52A20
Mathematics Subject Classification ID: 52Bxx
Mathematics Subject Classification ID: 28A75
Mathematics Subject Classification ID: 26B15
zbMATH DE Number: 3925699
zbMATH Keywords: convexity
zbMATH Keywords: shadow boundary
zbMATH Keywords: geometric measure theory
zbMATH Keywords: Lebesgue
zbMATH Keywords: area
zbMATH Keywords: smooth convex bodies
MaRDI profile type: Publication
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description: scientific article; zbMATH DE number 3925699