Sous-groupes analytiques de groupes algébriques
type: Item
instance of: scholarly article
title: Sous-groupes analytiques de groupes algébriques
zbMATH Open document ID: 0579.14039
DOI: 10.2307/2007037
published in: Annals of Mathematics. Second Series
publication date: 1983-01-01T00:00:00Z
review text: Soient G un groupe algébrique défini sur la clôture algébrique \({\bar {\mathbb{Q}}}\) de \({\mathbb{Q}}\) dans \({\mathbb{C}}\), et \(\phi\) : \({\mathbb{C}}^ n\to G({\mathbb{C}})\) un homomorphisme analytique. En général, \(\phi ({\mathbb{C}}^ n)\) n'est pas un sous-groupe algébrique de G(\({\mathbb{C}})\), mais s'enroule autour de son adhérence de Zariski. Nous allons donner des conditions arithmétiques qui assurent que l'image est fermée. Ce problème a été étudié d'abord par \textit{S. Lang} [''Introduction to transcendental numbers'' (1966; Zbl 0144.041); chapter II] pour les sous-groupes à un paramètre. Dans le cas général (n\(\geq 1)\), les premiers résultats sur ce sujet ont été obtenus par \textit{E. Bombieri} et \textit{S. Lang} [Invent. Math. 11, 1-14 (1970; Zbl 0237.14015)]. Les énoncés ici imposaient des conditions sévères sur l'approximation diophantienne des logarithmes. Ces conditions provenaient d'une estimation analytique, le lemme de Schwarz. Nous utilisons ici une approche différente, qui évite le lemme de Schwarz, mais qui utilise un résultat puissant, le ''lemme de zéros'' de \textit{D. W. Masser} et \textit{G. Wüstholz} [Invent. Math. 64, 489-516 (1981; Zbl 0467.10025)]. Nous introduisons un nombre \(\rho =\rho (G)\) défini par \(\rho =1\) si G est linéaire, \(\rho =2\) sinon. Voici l'énoncé précis: Théorème. Soient G une groupe algébrique défini sur \({\bar {\mathbb{Q}}}\) de dimension d, \(\phi\) : \({\mathbb{C}}^ n\to G({\mathbb{C}})\) un sous-groupe à n paramètres de G, de dimension d, et Y un sous-groupe de \({\mathbb{C}}^ n\) de rang m sur \({\mathbb{Z}}\) tel que \(\phi\) (Y)\(\subset G({\bar {\mathbb{Q}}})\). On suppose \(md>n(m+d\rho).\) Alors il existe un sous-espace vectoriel V de \({\mathbb{C}}^ n\) tel que, si H désigne l'adhérence de Zariski sur \({\bar {\mathbb{Q}}}\) de \(\phi\) (V), et si on note \(n_ 1=\dim_{{\mathbb{C}}}({\mathbb{C}}^ n/V)\), \(d_ 1=\dim (G/H)\), et \(m_ 1=rang_{{\mathbb{Z}}}(Y/Y\cap V)\), on ait \(n_ 1>0\),…
Mathematics Subject Classification ID: 14L10
Mathematics Subject Classification ID: 11J85
Mathematics Subject Classification ID: 32H99
Mathematics Subject Classification ID: 14G25
zbMATH DE Number: 3927101
zbMATH Keywords: image under analytic homomorphism
zbMATH Keywords: n-parameter subgroup of
zbMATH Keywords: algebraic group
zbMATH Keywords: rank of quotient space
zbMATH Keywords: dimension of quotient
zbMATH Keywords: space
author: Michel Waldschmidt
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: https://doi.org/10.2307/2007037
OpenAlex ID: W2057641943
description: scientific article; zbMATH DE number 3927101