Controllability of systems of a nilpotent Lie group
Sei W eine Teilmenge der Liealgebra L(G) einer zusammenhängenden Liegruppe G und sei S die durch Ext \({\mathbb{R}}^+W\) in G erzeugte Halbgruppe. Dann heißt das Paar (S,W) das durch W erzeugte System of G. Ein solches System heißt kontrollierbar, wenn \(S=G\) gilt. In diesem Fall läßt sich jedes Element \(g\in G\) in der Form \[ g=Exp t_ 1X_ 1... Exp t_ nX_ n \] schreiben mit Vektorfeldern \(X_ 1,...,X_ n\in L(G)\) und nichtnegativen Zahlen \(t_ 1,...,t_ n\) (''Zeitparameter''); d.h. das System läßt sich in endlich vielen Schritten zu einem beliebigen Punkt von G steuern. Die Frage der Kontrollierbarkeit eines Systems läßt sich im allgemeinen nicht allein infinitesimal (d.h. in Termen der Liealgebra) beantworten, wie einfache Beispiele zeigen. Man muß globale Aspekte mitberücksichtigen. Die vorliegende Arbeit gibt eine vollständige Antwort auf die Frage der Kontrollierbarkeit eines Systems (S,W) für den Fall, daß G eine zusammenhängende nilpotente Liegruppe und W ein Keil (das ist eine abgeschlossene, konvexe, positiv homogene, den Ursprung enthaltende Teilmenge) in L(G) ist. Und zwar wird gezeigt, daß (S,W) genau dann kontrollierbar ist, wenn die Kommutatoralgebra L' von L(G) das Innere von W (gebildet im Unterraum W-W von L(G)) trifft oder wenn der Kern \(Exp^{-1}(1)\) der Exponentialabbildung das Innere von \(\overline{L'+W}\) trifft.
scientific article; zbMATH DE number 3927250