Controllability of systems of a nilpotent Lie group
type: Item
instance of: scholarly article
title: Controllability of systems of a nilpotent Lie group
zbMATH Open document ID: 0579.22010
author: Joachim Hilgert
author: Karl H. Hofmann
author: Jimmie D. Lawson
published in: Beiträge zur Algebra und Geometrie
publication date: 1985-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/138317
review text: Sei W eine Teilmenge der Liealgebra L(G) einer zusammenhängenden Liegruppe G und sei S die durch Ext \({\mathbb{R}}^+W\) in G erzeugte Halbgruppe. Dann heißt das Paar (S,W) das durch W erzeugte System of G. Ein solches System heißt kontrollierbar, wenn \(S=G\) gilt. In diesem Fall läßt sich jedes Element \(g\in G\) in der Form \[ g=Exp t_ 1X_ 1... Exp t_ nX_ n \] schreiben mit Vektorfeldern \(X_ 1,...,X_ n\in L(G)\) und nichtnegativen Zahlen \(t_ 1,...,t_ n\) (''Zeitparameter''); d.h. das System läßt sich in endlich vielen Schritten zu einem beliebigen Punkt von G steuern. Die Frage der Kontrollierbarkeit eines Systems läßt sich im allgemeinen nicht allein infinitesimal (d.h. in Termen der Liealgebra) beantworten, wie einfache Beispiele zeigen. Man muß globale Aspekte mitberücksichtigen. Die vorliegende Arbeit gibt eine vollständige Antwort auf die Frage der Kontrollierbarkeit eines Systems (S,W) für den Fall, daß G eine zusammenhängende nilpotente Liegruppe und W ein Keil (das ist eine abgeschlossene, konvexe, positiv homogene, den Ursprung enthaltende Teilmenge) in L(G) ist. Und zwar wird gezeigt, daß (S,W) genau dann kontrollierbar ist, wenn die Kommutatoralgebra L' von L(G) das Innere von W (gebildet im Unterraum W-W von L(G)) trifft oder wenn der Kern \(Exp^{-1}(1)\) der Exponentialabbildung das Innere von \(\overline{L'+W}\) trifft.
Mathematics Subject Classification ID: 22E99
Mathematics Subject Classification ID: 22E25
Mathematics Subject Classification ID: 93B05
Mathematics Subject Classification ID: 22A15
Mathematics Subject Classification ID: 57R27
zbMATH DE Number: 3927250
zbMATH Keywords: nilpotent Lie group
zbMATH Keywords: connected Lie group
zbMATH Keywords: trajectories
zbMATH Keywords: left
zbMATH Keywords: invariant vector field
zbMATH Keywords: controllable system
zbMATH Keywords: Lie subsemigroup
zbMATH Keywords: wedge
reviewed by: Rainer Felix
MaRDI profile type: Publication
description: scientific article; zbMATH DE number 3927250