The Neumann problem for an equation of Lavrent'ev-Bitsadze type
In der \((\theta,\sigma)(={\mathbb{R}}^ 2)\)-Ebene in einem Gebiet D mit \(D\cap \{\sigma =0\}\neq \emptyset\) wird für \[ (1)\quad K(\sigma)u_{\theta \theta}+u_{\sigma \sigma}=f\quad in\quad D;\quad K(\sigma)u_{\theta}d\sigma -u_{\sigma}d\theta =0\quad auf\quad \partial D \] mit \(K(\sigma)=sign \sigma +\epsilon \sigma\) \((\epsilon >0\), konstant) die schwache Lösbarkeit untersucht. Das Problem wird als System von Gleichungen 1. Ordnung geschrieben. Es wird ein System von Differentialungleichungen (2) für Funktionen b und c (abc-Methode mit \(a=0)\) aufgestellt, mit dessen Lösung die für die schwache Lösbarkeit von (1) notwendige Aprioi Abschätzung hergeleitet werden kann. Ob Lösungen von (2) existieren, hängt stark ab von der Geometrie des Gebietes D in der Umgebung der parabolischen Linie \(\sigma =0\). Es werden Bedingungen hergeleitet, die die Randkurve erfüllen muß, damit (2) lösbar ist. Das Vorgehen wird an einem Beispiel erläutert. Wesentliche Voraussetzungen für K sind: \(K(\sigma)\sim sign \sigma\) (bei \(\sigma =0)\), \(K'(\sigma)>0\) und K'(\(\sigma)\) stetig für \(\sigma\) \(\neq 0\); so daß allgemeiner \(K(\sigma)=sign \sigma +\epsilon k(\sigma)\) \((k(0)=0\), \(k'(\sigma)>0)\) verwendet werden kann. Lit: \textit{C. S. Morawetz} [Commun. Pure Appl. Math. 11, 315-331 (1958; Zbl 0081.312)].
scientific article; zbMATH DE number 3927504
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