On capillary free surfaces without gravity
type: Item
instance of: scholarly article
title: On capillary free surfaces without gravity
zbMATH Open document ID: 0581.35023
DOI: 10.4171/ZAA/164
published in: Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen
publication date: 1985-01-01T00:00:00Z
review text: \(\Omega\) \(\subset {\mathbb{R}}^ 2\) sei ein einfach zusammenhängendes, beschränktes Gebiet. Gesucht ist eine Fläche S: u\(=u(x)\) über \(\Omega\) mit konstanter mittlerer Krümmung H, die den vertikalen Zylinder durch \(\partial \Omega\) in einem vorgeschriebenen konstanten Winkel \(\gamma\) (0\(\leq \gamma \leq \pi /2)\) schneidet. Dieses Problem führt auf die Gleichung \[ (1)\quad \sum^{2}_{i=1}\frac{\partial}{\partial x_ i}(u_{x_ i}/\sqrt{1+| u_ x|^ 2})=2H\quad in\quad \Omega \] mit der Randbedingung \[ (2)\quad \frac{\partial u}{\partial n}-\cos \gamma \sqrt{1| u_ x|^ 2}=0\quad auf\quad \partial \Omega. \] Durch die Einführung einer Stromfunktion \(\psi\) (x) ergibt sich aus (1) eine Gleichung der Gestalt \[ (3)\quad \sum^{2}_{i,j=1}a_{ij}(P)\psi_{x_ ix_ j}=0\quad in\quad \Omega \quad mit\quad a_{11}=(1-p_ 2)^ 2, \] \[ a_{22}=(1-p_ 1)^ 2,\quad a_{11}=a_{22}=p_ 1p_ 2;\quad p_ 1=\psi_{x_ 1}-Hx_ 2,\quad p_ 2=\psi_{x_ 2}+Hx_ 1. \] Für die Diskriminante von (3) errechnet sich \(d=1-p^ 2_ 1-p^ 2_ 2=:1- F(x,\psi_ x)\), so daß (3) im allgemeinen vom gemischten Typ in \(\Omega\) ist. Der Fall \(\max_{{\bar \Omega}} F<1\), d.h. (3) ist elliptisch, wird untersucht. Es werden Gebiete \(\Omega\) angegeben, für das das Dirichlet-Problem für (3) Lösungen besitzt und es werden Regularitätseigenschaften dieser Lösungen für Gebiete \(\Omega\) mit Ecken bewiesen.
Mathematics Subject Classification ID: 35J65
Mathematics Subject Classification ID: 35M99
Mathematics Subject Classification ID: 53A05
Mathematics Subject Classification ID: 35J25
Mathematics Subject Classification ID: 35B50
Mathematics Subject Classification ID: 35B65
zbMATH DE Number: 3929533
zbMATH Keywords: capillary free surfaces
zbMATH Keywords: non-parametric capillary problem
zbMATH Keywords: Dirichlet problem
zbMATH Keywords: quasilinear equation
zbMATH Keywords: mixed type
zbMATH Keywords: stream function
zbMATH Keywords: maximum principle
zbMATH Keywords: regularity
zbMATH Keywords: domains with corners
author: Erich Miersemann
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: https://doi.org/10.4171/zaa/164
OpenAlex ID: W2567622713
description: scientific article; zbMATH DE number 3929533