Komplemente als direkte Summanden. III. (Complements as direct summands. III)
type: Item
instance of: scholarly article
title: Komplemente als direkte Summanden. III. (Complements as direct summands. III)
zbMATH Open document ID: 0583.16015
DOI: 10.1007/BF01197488
published in: Archiv der Mathematik
publication date: 1986-01-01T00:00:00Z
review text: Interpretiert man Ext(C;A) als die Gruppe der Erweiterungen von A durch C, so kann man fragen, welche Eigenschaften eine kurze exakte Folge \(E: 0\to A\to^{\alpha}B\to^{\beta}C\to 0\) von R-Moduln haben muß, damit die Äquivalenzklasse [E] ein Element einer vorgeschriebenen Untergruppe von Ext(C;A) ist. Die exakte Folge heißt k-exakt, und \([E]\in Ext^ 1_ R(C;A)\) ein k-Element, wenn \(\alpha\) (A) ein Komplement in \(B\) hat, d.h. ein minimales Element in der Menge \(\{\) \(N\subseteq B|\) \(N+\alpha (A)=B\}\). Mit Hilfe der Tiefensequenz \(t^ G(x)\) eines Gruppenelementes \(x\in G\) kann man für den Fall, daß \(R=Z\), C eine Torsionsgruppe und A torsionsfrei vom Rang 1 ist, eine Beschreibung der k-Elemente in \(G=Ext(C;A)\) geben. Ersetzt man darin die Tiefensequenz durch die Höhensequenz \(h^ G(x)\), so ergibt sich - weil in jeder Gruppe \(t^ G(x)\leq h^ G(x)\) ist - ein strengerer Komplementbegriff, nämlich gerade der Begriff des H-Komplementes [siehe Teil II, ibid. 38, 324-334 (1982; Zbl 0484.16012)]. Die Darstellung dieses Zusammenhangs, daß die Unterscheidung zwischen Tiefe und Höhe gerade der zwischen Komplementen und H-Komplementen entspricht, und die Untersuchung von damit zusammenhängenden Problemen ist Gegenstand dieser Arbeit.
Mathematics Subject Classification ID: 16S20
Mathematics Subject Classification ID: 16D80
Mathematics Subject Classification ID: 16D70
zbMATH DE Number: 3933260
zbMATH Keywords: extensions
zbMATH Keywords: depth
zbMATH Keywords: complements
zbMATH Keywords: height
zbMATH Keywords: exact sequences
author: Helmut Zoeschinger
MaRDI profile type: Publication
cites work: Q5609457
cites work: Q5673086
cites work: On mixed groups of torsion-free rank one
cites work: Modules of extensions over Dedekind rings
cites work: Über Torsions-und \(\kappa\)-Elemente von Ext(C,A)
cites work: Komplemente als direkte Summanden. II
full work available at URL: https://doi.org/10.1007/bf01197488
OpenAlex ID: W1819479012
description: scientific article; zbMATH DE number 3933260