Komplemente als direkte Summanden. III. (Complements as direct summands. III)
Interpretiert man Ext(C;A) als die Gruppe der Erweiterungen von A durch C, so kann man fragen, welche Eigenschaften eine kurze exakte Folge \(E: 0\to A\to^{\alpha}B\to^{\beta}C\to 0\) von R-Moduln haben muß, damit die Äquivalenzklasse [E] ein Element einer vorgeschriebenen Untergruppe von Ext(C;A) ist. Die exakte Folge heißt k-exakt, und \([E]\in Ext^ 1_ R(C;A)\) ein k-Element, wenn \(\alpha\) (A) ein Komplement in \(B\) hat, d.h. ein minimales Element in der Menge \(\{\) \(N\subseteq B|\) \(N+\alpha (A)=B\}\). Mit Hilfe der Tiefensequenz \(t^ G(x)\) eines Gruppenelementes \(x\in G\) kann man für den Fall, daß \(R=Z\), C eine Torsionsgruppe und A torsionsfrei vom Rang 1 ist, eine Beschreibung der k-Elemente in \(G=Ext(C;A)\) geben. Ersetzt man darin die Tiefensequenz durch die Höhensequenz \(h^ G(x)\), so ergibt sich - weil in jeder Gruppe \(t^ G(x)\leq h^ G(x)\) ist - ein strengerer Komplementbegriff, nämlich gerade der Begriff des H-Komplementes [siehe Teil II, ibid. 38, 324-334 (1982; Zbl 0484.16012)]. Die Darstellung dieses Zusammenhangs, daß die Unterscheidung zwischen Tiefe und Höhe gerade der zwischen Komplementen und H-Komplementen entspricht, und die Untersuchung von damit zusammenhängenden Problemen ist Gegenstand dieser Arbeit.
scientific article; zbMATH DE number 3933260