Über Primzahlen, nach denen (fast) all Fermatschen Zahlen quadratische Nichtreste sind. (On prime numbers, for which (almost) all Fermat numbers are quadratic non-residues)
Die Folge der Fermatschen Zahlen \(F_ n=2^{2^ n}+1\) mit \(n=0,1,2,..\). wird nach jeder Primzahl p periodisch mit oder ohne Vorperiode. Die Primzahlen mit der Titeleigenschaft (kurz ''elitäre'' genannt) sind nun diese, bei denen quadratische Reste höchstens nur in der Vorperiode vorkommen. Als solche sind schon seit langem 3, 5 und 7 bekannt; dann folgt 41 und als nächste erst 15 361. Naturgemäß ist die Aussicht auf elitäre Primzahlen bei kurzen Perioden größer. Die Periodenlänge h wird in zweifacher Weise durch die Ordnung des Restes 2 in einer multiplikativen Gruppe bestimmt: \(h=ord 2\) mod (max. ungerader Teiler von (ord 2 mod p)). Für weitere elitäre Primzahlen muß notwendig (nicht hinreichend !) \(h\geq 4\) und überdies gerade sein. Ferner können in etlichen Restklassen (z.B. \(24n+13\) oder 24n-1) keine elitären Primzahlen vorkommen. - Schließlich ergab eine mit Computer-Einsatz geführte Untersuchung insgesamt 14 elitäre Primzahlen unterhalb \(35.10^ 6 \).
scientific article; zbMATH DE number 3935113