Über Primzahlen, nach denen (fast) all Fermatschen Zahlen quadratische Nichtreste sind. (On prime numbers, for which (almost) all Fermat numbers are quadratic non-residues)
type: Item
instance of: scholarly article
title: Über Primzahlen, nach denen (fast) all Fermatschen Zahlen quadratische Nichtreste sind. (On prime numbers, for which (almost) all Fermat numbers are quadratic non-residues)
zbMATH Open document ID: 0584.10003
DOI: 10.1007/BF01298923
author: Alexander Aigner
published in: Monatshefte für Mathematik
publication date: 1986-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/178266
review text: Die Folge der Fermatschen Zahlen \(F_ n=2^{2^ n}+1\) mit \(n=0,1,2,..\). wird nach jeder Primzahl p periodisch mit oder ohne Vorperiode. Die Primzahlen mit der Titeleigenschaft (kurz ''elitäre'' genannt) sind nun diese, bei denen quadratische Reste höchstens nur in der Vorperiode vorkommen. Als solche sind schon seit langem 3, 5 und 7 bekannt; dann folgt 41 und als nächste erst 15 361. Naturgemäß ist die Aussicht auf elitäre Primzahlen bei kurzen Perioden größer. Die Periodenlänge h wird in zweifacher Weise durch die Ordnung des Restes 2 in einer multiplikativen Gruppe bestimmt: \(h=ord 2\) mod (max. ungerader Teiler von (ord 2 mod p)). Für weitere elitäre Primzahlen muß notwendig (nicht hinreichend !) \(h\geq 4\) und überdies gerade sein. Ferner können in etlichen Restklassen (z.B. \(24n+13\) oder 24n-1) keine elitären Primzahlen vorkommen. - Schließlich ergab eine mit Computer-Einsatz geführte Untersuchung insgesamt 14 elitäre Primzahlen unterhalb \(35.10^ 6 \).
Mathematics Subject Classification ID: 11A15
Mathematics Subject Classification ID: 11B39
Mathematics Subject Classification ID: 11A41
Mathematics Subject Classification ID: 11N69
Mathematics Subject Classification ID: 11A07
zbMATH DE Number: 3935113
zbMATH Keywords: Fermat numbers
zbMATH Keywords: quadratic residues
zbMATH Keywords: nonresidues
zbMATH Keywords: elitist primes
zbMATH Keywords: elitäre Primzahlen
zbMATH Keywords: computer search
MaRDI profile type: Publication
cites work: On primitive roots
cites work: Q3268370
cites work: Bemerkungen über die Verteilung der quadratischen Reste
description: scientific article; zbMATH DE number 3935113