Complex structures on \(S^ 3\times S^ 3\)
In dieser Arbeit werden kompakte komplexe Mannigfaltigkeiten \(M^{\pm}(\alpha,A,m)\) konstruiert, durch die man Beispiele komplexer Strukturen auf \(S^ 3\times S^ 3\) erhält. Es sei \(\alpha =(\alpha_ 1,\alpha_ 2,\alpha_ 3)\) und \(0<| \alpha_ 1| <| \alpha_ 2| <1,\) \(0<| \alpha_ 3| <1,\) dann ist der Quotientenraum \(H(\alpha):=({\mathbb{C}}^ 3-\{0\})/<h>\) mit \(h(z_ 1,z_ 2,z_ 3):=(\alpha_ 1z_ 1,\alpha_ 2z_ 2,\alpha_ 3z_ 3)\) eine Hopf-Mannigfaltigkeit. Ist \(A\in SL(2,{\mathbb{Z}})\) und \(m=(m_ 1,m_ 2)\in {\mathbb{Z}}^ 2\), so kann man, ausgehend von H(\(\alpha)\), kompakte komplexe Mannigfaltigkeiten \(M^+(\alpha,A,m)\) und \(M^-(\alpha,A,m)\) konstruieren. Es wird gezeigt, daß \(M^{\pm}(\alpha,A,m)\) genau dann diffeomorph zu \(S^ 3\times S^ 3\) ist, wenn gilt: \(A=\left( \begin{matrix} a\\ \pm 1\end{matrix}\begin{matrix} b\\ d\end{matrix} \right)\). Die Mannigfaltigkeiten \(M^{\pm}(\alpha,A,m)\) werden eingehend untersucht. Zunächst werden Cohomologiegruppen bestimmt. Dann wird gezeigt, daß in diesen Mannigfaltigkeiten ein Divisor \(D=S_ 0+S_ 1+S_ 2+S_ 3\) enthalten ist, bei dem die \(S_ i\) Hopf-Flächen sind, über deren Schnittverhalten und Normalbündel man Aussagen machen kann. Dies führt zu einer Charakterisierung der \(M^{\pm}(\alpha,A,m)\). Es wird bewiesen: Jede einfach zusammenhängende dreidimensionale kompakte komplexe Mannigfaltigkeit, die den oben skizzierten Bedingungen genügt, ist biholomorph äquivalent zu einer Mannigfaltigkeit \(M^{\pm}(\alpha,A,m)\) und diffeomorph zu \(S^ 3\times S^ 3\).
complex structures on \(S^ 3\times S^ 3\)
scientific article; zbMATH DE number 3939694
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