Complex structures on \(S^ 3\times S^ 3\)
type: Item
instance of: scholarly article
title: Complex structures on \(S^ 3\times S^ 3\)
zbMATH Open document ID: 0586.32010
author: Hajime Tsuji
published in: Tôhoku Mathematical Journal. Second Series
publication date: 1984-01-01T00:00:00Z
review text: In dieser Arbeit werden kompakte komplexe Mannigfaltigkeiten \(M^{\pm}(\alpha,A,m)\) konstruiert, durch die man Beispiele komplexer Strukturen auf \(S^ 3\times S^ 3\) erhält. Es sei \(\alpha =(\alpha_ 1,\alpha_ 2,\alpha_ 3)\) und \(0<| \alpha_ 1| <| \alpha_ 2| <1,\) \(0<| \alpha_ 3| <1,\) dann ist der Quotientenraum \(H(\alpha):=({\mathbb{C}}^ 3-\{0\})/<h>\) mit \(h(z_ 1,z_ 2,z_ 3):=(\alpha_ 1z_ 1,\alpha_ 2z_ 2,\alpha_ 3z_ 3)\) eine Hopf-Mannigfaltigkeit. Ist \(A\in SL(2,{\mathbb{Z}})\) und \(m=(m_ 1,m_ 2)\in {\mathbb{Z}}^ 2\), so kann man, ausgehend von H(\(\alpha)\), kompakte komplexe Mannigfaltigkeiten \(M^+(\alpha,A,m)\) und \(M^-(\alpha,A,m)\) konstruieren. Es wird gezeigt, daß \(M^{\pm}(\alpha,A,m)\) genau dann diffeomorph zu \(S^ 3\times S^ 3\) ist, wenn gilt: \(A=\left( \begin{matrix} a\\ \pm 1\end{matrix}\begin{matrix} b\\ d\end{matrix} \right)\). Die Mannigfaltigkeiten \(M^{\pm}(\alpha,A,m)\) werden eingehend untersucht. Zunächst werden Cohomologiegruppen bestimmt. Dann wird gezeigt, daß in diesen Mannigfaltigkeiten ein Divisor \(D=S_ 0+S_ 1+S_ 2+S_ 3\) enthalten ist, bei dem die \(S_ i\) Hopf-Flächen sind, über deren Schnittverhalten und Normalbündel man Aussagen machen kann. Dies führt zu einer Charakterisierung der \(M^{\pm}(\alpha,A,m)\). Es wird bewiesen: Jede einfach zusammenhängende dreidimensionale kompakte komplexe Mannigfaltigkeit, die den oben skizzierten Bedingungen genügt, ist biholomorph äquivalent zu einer Mannigfaltigkeit \(M^{\pm}(\alpha,A,m)\) und diffeomorph zu \(S^ 3\times S^ 3\).
Mathematics Subject Classification ID: 32Q99
Mathematics Subject Classification ID: 32J15
Mathematics Subject Classification ID: 55R10
zbMATH DE Number: 3939694
zbMATH Keywords: complex structures on \(S^ 3\times S^ 3\)
zbMATH Keywords: compact complex manifold
zbMATH Keywords: Hopf manifold
zbMATH Keywords: Hopf surface
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: https://doi.org/10.2748/tmj/1178228803
OpenAlex ID: W2048059898
cites work: Q4175683
cites work: Q3925169
cites work: Some complex structures on products of homotopy spheres
cites work: A class of compact, complex manifolds which are not algebraic
cites work: Surfaces of class \(VII_ 0\) with curves
cites work: Complex structures on \(S^1\times S^5\)
cites work: Q3853919
cites work: On the Structure of Compact Complex Analytic Surfaces, II
cites work: On deformations of complex analytic structures. I
cites work: A theorem of completeness for complex analytic fibre spaces
cites work: Q5520509
cites work: Every Stein subvariety admits a Stein neighborhood
cites work: Q5825483
cites work: On the neighbourhood of a Hopf surface
cites work: On the neighborhood of a compact complex curve with topologically trivial normal bundle
cites work: Classification theory of algebraic varieties and compact complex spaces. Notes written in collaboration with P. Cherenack
DOI: 10.2748/TMJ/1178228803
description: scientific article; zbMATH DE number 3939694