Zwei Aspekte konstruktiver Galoistheorie. (Two aspects of constructive Galois theory)
Es wird die absolute Galoisgruppe \(\Lambda =Gal({\bar {\mathbb{Q}}}/{\mathbb{Q}})\) der algebraisch abgeschlossenen Hülle \({\bar {\mathbb{Q}}}\) des Körpers \({\mathbb{Q}}\) der rationalen Zahlen studiert durch ihre Einbettung in die arithmetische Fundamentalgruppe \(\Gamma\) und ihre Operation via Konjugation auf der zugehörigen algebraischen Fundamentalgruppe \(\Pi\) bezüglich eines aufgeschlossenen algebraischen Funktionskörpers \(K/{\mathbb{Q}}\) vom Geschlecht g und einer endlichen Teilmenge S der Primdivisoren von \({\mathbb{Q}}(t):\) nach Satz 1.2 ist \(\Gamma\) semidirektes Produkt des Normalteilers \(\Pi\) mit zu \(\Lambda\) isomorphen Komplementen. Dabei entstehen \(\Gamma\) und \(\Pi\) aus K und S wie folgt: Es sei \(\bar K={\bar {\mathbb{Q}}}(t)\), \(\bar S\) die Menge der Primdivisoren von \(\bar K,\) die als Primteiler eines \(p\in S\) auftreten, und \(\bar M\) der maximale außerhalb \(\bar S\) unverzweigte Erweiterungskörper von \(\bar K.\) Dann ist \(\bar M/\)K galoissch (1.1) und \(\Gamma:=Gal(\bar M/K)\), \(\Pi:=Gal(\bar M/\bar K)\). Hier ist die Struktur von \(\Pi\) als freie proendliche Gruppe \(\Phi_ r\) vom Rang \(r=2g+s-1\) (proendliche Komplettierung der Fundamentalgruppe einer an \(s=| \bar S|\) Stellen gelochten topologischen bzw. Riemannschen Fläche vom Geschlecht g) bekannt. Der erste Aspekt ist die konkrete Einbettung von \(\Lambda\) in Out \(\Phi_ r\). Der zweite Aspekt, die explizite Beschreibung der Operation von \(\Lambda\) auf der Kommutatorfaktorgruppe \(\Phi_ r/\Phi'_ r\) (Satz 2.2), erlaubt die Herleitung von Bedingungen, unter denen sich endliche Faktorgruppen von \(\Phi_ r\) (mit Erzeugendensystem \(Z=(\rho_ 1,...,\rho_{2g},\sigma_ 1,...,\sigma_ s)\), das die Relation \([\rho_ 1,\rho_ 2]...[\rho_{2g-1},\rho_{2g}]\sigma_ 1...\sigma_ s=1\) von \(\Phi_ r\) erfüllt) als Galoisgruppen über K nachweisen lassen. Für eine Galoiserweiterung \(\bar N/\bar K\) mit Galoisgruppe G werden Definitionskörper K'\(\geq K\) gesucht, also algebraische Funktionskörper \(K'/{\mathbb{Q}}\) mit genauem Konstantenkörper \({\mathbb{Q}}\) und einer regulären Körpererweiterung \(N/K'\) mit \(K'\otimes_{{\mathbb{Q}}} {\mathbb{Q}}'=\bar K\), \(N \otimes_{{\mathbb{Q}}} {\bar {\mathbb{Q}}}=\bar N\). Der Autor findet obere Schranken für den Grad [K':K], die rein gruppentheoretisch aus G und Z zu berechnen sind. Insofern werden die Ergebnisse seiner Habilitationsschrift [J. Reine Angew. Math. 349, 179-220 (1984; Zbl 0555.12005)] verfeinert. Als Anwendungen diskutiert der Autor die Realisierung der Gruppen \(SL_ 2({\mathbb{F}}_ q)\) und \(PSL_ 2({\mathbb{F}}_ q)\), \(q=p^ f\), als Galoisgruppen über Kreisteilungskörpern bzw. \({\mathbb{Q}}\) und zeigt, daß die Mathieugruppen \(M_{12}\) und \(M_{22}\) als Galoisgruppen über \({\mathbb{Q}}\) realisiert werden können. Mit diesen Methoden wurden auch die Jankogruppen \(J_ 1\) und \(J_ 2\) [\textit{G. Hoyden- Siedersleben}, J. Algebra 97, 17-22 (1985; Zbl 0574.12011)] und \(M_{11}\) [Verf. und \textit{A. Zeh-Marschke}, J. Number Theory 23, 195-202 (1986)] über \({\mathbb{Q}}\) realisiert. Bezüglich weiterer einfacher Gruppen siehe die neun Artikel im Kapitel ''Rigidity und Galois Groups'', Proc. Rutgers Group Theory Year, 1983-1984 (1984)] und Verf. [Manuscr. Math. 51, 253-265 (1985; Zbl 0574.12010)], zum Einbettungsproblem bei zusammengesetzten Gruppen siehe Verf. [Invent. Math. 80, 365-374 (1985; Zbl 0567.12015)].
inverse problem of Galois theory, algebraic function field
scientific article; zbMATH DE number 3941641
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