Zwei Aspekte konstruktiver Galoistheorie. (Two aspects of constructive Galois theory)
type: Item
instance of: scholarly article
title: Zwei Aspekte konstruktiver Galoistheorie. (Two aspects of constructive Galois theory)
zbMATH Open document ID: 0587.12004
DOI: 10.1016/0021-8693(85)90024-9
published in: Journal of Algebra
publication date: 1985-01-01T00:00:00Z
review text: Es wird die absolute Galoisgruppe \(\Lambda =Gal({\bar {\mathbb{Q}}}/{\mathbb{Q}})\) der algebraisch abgeschlossenen Hülle \({\bar {\mathbb{Q}}}\) des Körpers \({\mathbb{Q}}\) der rationalen Zahlen studiert durch ihre Einbettung in die arithmetische Fundamentalgruppe \(\Gamma\) und ihre Operation via Konjugation auf der zugehörigen algebraischen Fundamentalgruppe \(\Pi\) bezüglich eines aufgeschlossenen algebraischen Funktionskörpers \(K/{\mathbb{Q}}\) vom Geschlecht g und einer endlichen Teilmenge S der Primdivisoren von \({\mathbb{Q}}(t):\) nach Satz 1.2 ist \(\Gamma\) semidirektes Produkt des Normalteilers \(\Pi\) mit zu \(\Lambda\) isomorphen Komplementen. Dabei entstehen \(\Gamma\) und \(\Pi\) aus K und S wie folgt: Es sei \(\bar K={\bar {\mathbb{Q}}}(t)\), \(\bar S\) die Menge der Primdivisoren von \(\bar K,\) die als Primteiler eines \(p\in S\) auftreten, und \(\bar M\) der maximale außerhalb \(\bar S\) unverzweigte Erweiterungskörper von \(\bar K.\) Dann ist \(\bar M/\)K galoissch (1.1) und \(\Gamma:=Gal(\bar M/K)\), \(\Pi:=Gal(\bar M/\bar K)\). Hier ist die Struktur von \(\Pi\) als freie proendliche Gruppe \(\Phi_ r\) vom Rang \(r=2g+s-1\) (proendliche Komplettierung der Fundamentalgruppe einer an \(s=| \bar S|\) Stellen gelochten topologischen bzw. Riemannschen Fläche vom Geschlecht g) bekannt. Der erste Aspekt ist die konkrete Einbettung von \(\Lambda\) in Out \(\Phi_ r\). Der zweite Aspekt, die explizite Beschreibung der Operation von \(\Lambda\) auf der Kommutatorfaktorgruppe \(\Phi_ r/\Phi'_ r\) (Satz 2.2), erlaubt die Herleitung von Bedingungen, unter denen sich endliche Faktorgruppen von \(\Phi_ r\) (mit Erzeugendensystem \(Z=(\rho_ 1,...,\rho_{2g},\sigma_ 1,...,\sigma_ s)\), das die Relation \([\rho_ 1,\rho_ 2]...[\rho_{2g-1},\rho_{2g}]\sigma_ 1...\sigma_ s=1\) von \(\Phi_ r\) erfüllt) als Galoisgruppen über K nachweisen lassen. Für eine Galoiserweiterung \(\bar N/\bar K\) mit Galoisgruppe G werden Definitionskörper K'\(\geq K\) gesucht, also algebr…
Mathematics Subject Classification ID: 11R32
Mathematics Subject Classification ID: 20F29
Mathematics Subject Classification ID: 11R58
Mathematics Subject Classification ID: 20D05
Mathematics Subject Classification ID: 20D08
Mathematics Subject Classification ID: 14E20
zbMATH DE Number: 3941641
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author: B. Heinrich Matzat
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: 0021-8693(85)90024-9
OpenAlex ID: W2130453797
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description: scientific article; zbMATH DE number 3941641