Connectedness properties of polynomial maps between affine spaces
L'A. étudie la connexité de l'ensemble \(\Delta f=\{(x,y)\in X\times X;\quad f(x)=f(y))\}\) lorsque \(f:\quad A^ m\to A^ n\) est un isomorphisme d'espaces affines. En caractéristique zéro la connexité de \(\Delta\) f pour tout morphisme polynômial f avec \(n\leq m\) entraînerait la conjecture jacobienne (toute application polynômiale de \(A^ 2\) dans lui-même est bijective si et seulement si son application jacobienne est constante et non nulle). L'A. établit la connexité de \(\Delta\) f en caractéristique p différente de deux lorsque f est représentée par des polynômes de degrés \(\leq 2\) et aussi en caractéristique \(p\nmid \deg f\) lorsque \(n=1\). Ce dernier résultat est une conséquence du théorème suivant, également démontré par l'A.: si \(f\in k[X_ 1,...,X_ m]\setminus \{0\}\) est un polynôme de degré sans facteur carré alors les composantes de la variété des zéros de f dans \(A^ m\) s'intersectent deux à deux.
connectivity of preimage of diagonal mapping
scientific article; zbMATH DE number 3941667
scientific article