Linear equations over commutative rings and determinantal ideals
type: Item
instance of: scholarly article
title: Linear equations over commutative rings and determinantal ideals
zbMATH Open document ID: 0588.13002
DOI: 10.1016/0021-8693(86)90054-2
author: J. A. Hermida
author: T. Sánchez-Giralda
published in: Journal of Algebra
publication date: 1986-01-01T00:00:00Z
review text: On considère, dans un anneau commutatif unitaire R, le système \(Ax=b\) d'un nombre fini d'équations linéaires scalaires à un nombre fini d'inconnues scalaires. On désigne par \({\mathcal U}_ i(A)\) l'idéal de R engendré par les déterminants des sous-matrices carrées d'ordre i de A, et par \(A| b\) la matrice déduite de A en ajoutant une colonne formée des éléments de b. Lorsque l'anneau R est local, le système admet une solution si, pour chaque entier i, on a les propriétés: \({\mathcal U}_ i(A)={\mathcal U}_ i(A| b)\); l'idéal \({\mathcal U}_ i(A)\) est ou bien réduit à 0, ou bien engendré par un élément de R non diviseur de zéro. Dans le cas général les résultats suivants sont équivalents: le système admet une solution si pour tout i l'on a \({\mathcal U}_ i(A)={\mathcal U}_ i(A| b)\); chaque idéal de R engendré par un nombre fini d'éléments est ''flat'' (c'est-à-dire: A est un anneau de Prüfer).
Mathematics Subject Classification ID: 13A99
Mathematics Subject Classification ID: 15A15
Mathematics Subject Classification ID: 15A06
Mathematics Subject Classification ID: 12E12
zbMATH DE Number: 3943978
zbMATH Keywords: determinant
zbMATH Keywords: solution of system of linear equations over commutative ring
zbMATH Keywords: Prüfer ring
reviewed by: Henri Mascart
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: 0021-8693(86)90054-2
OpenAlex ID: W2003086573
cites work: Q5563439
cites work: Q5534236
cites work: Commutative rings whose finitely generated modules decompose
cites work: Q4405003
cites work: Linear equations over a commutative ring
cites work: Q4093557
description: scientific article; zbMATH DE number 3943978