Arakelov's theorem for abelian varieties
type: Item
instance of: scholarly article
title: Arakelov's theorem for abelian varieties
zbMATH Open document ID: 0588.14025
DOI: 10.1007/BF01388431
published in: Inventiones Mathematicae
publication date: 1983-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/143050
review text: Sei \(B\) eine zusammenhängende glatte vollständige algebraische Kurve über \(\mathbb C\), und \(S\) eine endliche Menge von Punkten von \(B\). \textit{S. Yu. Arakelov} [Math. USSR, Izv. 5 (1971), 1277--1302 (1972); Übersetzung von Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 35, 1269--1293 (1971; Zbl 0238.14012)] hat gezeigt, daß es nur endlich viele nicht isotriviale (d.i., auch über endlichen Überlagerungen von \(B\) nie konstante) Familien von Kurven über \(B\) mit vorgegebenem Geschlecht \(g\) und guter Reduktion außerhalb \(S\) gibt (Shafarevich-Vermutung über \(B\)). In der vorliegenden Arbeit wird die analoge Aussage für Familien prinzipal polarisierter abelscher Varietäten \(X\to B-S\) von relativer Dimension \(g\) unter der (notwendigen) Bedingung bewiesen, daß sich die Endomorphismen von \(X\) einfach Hodge-theoretisch beschreiben lassen (Bedingung ''(*)''). Im letzten Abschnitt wird ein Beispiel einer nicht konstanten Familie \(X\) über einer Modulkurve konstruiert, die (*) verletzt. Die Beweismethoden sind angeregt von Arakelov's Ansatz und Deligne's Hodge-Theorie [\textit{P. Deligne}, Publ. Math., Inst. Haut. Étud. Sci. 40, 5--57 (1971; Zbl 0219.14007)], enthalten aber für den heutigen Leser schon eine Ahnung der Techniken, die der Autor wenig später für den Zahlkörperfall ausbauen konnte [Invent. Math. 73, 349--366 (1983; Zbl 0588.14026)].
Mathematics Subject Classification ID: 14K15
Mathematics Subject Classification ID: 14G05
Mathematics Subject Classification ID: 14G15
Mathematics Subject Classification ID: 11G10
zbMATH DE Number: 3944026
zbMATH Keywords: finiteness of the number of families of principally polarized abelian varieties
zbMATH Keywords: Tate conjecture
zbMATH Keywords: Shafarevich conjecture
MaRDI profile type: Publication
cites work: Q4099744
cites work: Compactification of arithmetic quotients of bounded symmetric domains
cites work: Théorie de Hodge. II. (Hodge theory. II)
cites work: Hirzebruch's proportionality theorem in the non-compact case
cites work: Variation of Hodge structure: The singularities of the period mapping
cites work: Q3859917
OpenAlex ID: W2004653144
author: Gerd Faltings
description: scientific article; zbMATH DE number 3944026