Finiteness theorems for abelian varieties over number fields.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Finiteness theorems for abelian varieties over number fields.
zbMATH Open document ID: 0588.14026
DOI: 10.1007/BF01388432
published in: Inventiones Mathematicae
publication date: 1983-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/143051
review text: Der Autor hat in dieser Arbeit seinen vielbeachteten und gefeierten Beweis der Mordellschen Vermutung niedergelegt: daß jede glatte projektive algebraische Kurve \(X\) vom Geschlecht \(g\geq 2\) über einem Zahlkörper \(K\) nur endlich viele \(K\)-rationale Punkte \(X(K)\) hat (Satz 7). Dank einer früheren Arbeit von \textit{A. N. Parshin} [Math. USSR, Izv. 2 (1968), 1145--1170 (1970); Übersetzung von Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 32, 1191--1219 (1968; Zbl 0181.23902)] genügte es dafür, die sogenannte Shafarevich-Vermutung zu beweisen: Es gibt nur endlich viele (bis auf Isomorphie) glatte projektive algebraische Kurven \(X\) über \(K\) mit vorgegebenem Geschlecht \(g\) und guter Reduktion außerhalb einer vorgegebenen endlichen Menge \(S\) von Primstellen von \(K\). Durch Übergang zu den Jacobischen folgt diese Aussage mit Hilfe einer geeigneten Fassung des Satzes von Torelli aus der Aussage (Satz 6): Es gibt nur endlich viele Isomorphieklassen abelscher Varietäten mit Polarisierung von vorge\-gebenem Grad \(d>0\) über \(K\), die außerhalb \(S\) gute Reduktion haben. Dies beweist der Autor und, auf dem Wege dahin, auch die wichtige, vorher nur in wenigen Spezialfällen bewiesene, Tate-Vermutung für Endomorphismen abelscher Varietäten \(A\) über \(K\): Sei \(\pi =\text{Gal}(\bar K/K)\) die absolute Galoisgruppe von \(K\), \(\ell\) eine Primzahl. Der inverse Limes der \(\ell^ n\)-Teilungspunkte von \(A\), \(T_{\ell}(A)=\lim_{\overset \leftarrow n}A[\ell^ n](\bar K)\), ist ein freier \({\mathbb Z}_{\ell}\)-Modul mit \(\pi\)-Aktion. Dann gilt: (Satz 3) Die Darstellung von \(\pi\) auf \(T_{\ell}(A)\otimes_{{\mathbb Z}_{\ell}}{\mathbb Q}_{\ell}\) ist halbeinfach. (Satz 4) Die natürliche Abbildung \(\text{End}_ K(A)\otimes {\mathbb Z}_{\ell}\to \text{End}_{\pi}(T_{\ell}(A))\) ist ein Isomorphismus. Diese Aussagen wurden von \textit{J. Tate} [Invent. 2, 134--144 (1966; Zbl 0147.20303)] für abelsche Varietäten über endlichen Körpern bewiesen, und Tate's Ansatz wurde von \text…
Mathematics Subject Classification ID: 14K15
Mathematics Subject Classification ID: 14G05
Mathematics Subject Classification ID: 14G40
Mathematics Subject Classification ID: 14G25
Mathematics Subject Classification ID: 11G10
Mathematics Subject Classification ID: 11D41
zbMATH DE Number: 3944027
zbMATH Keywords: proof of Mordell conjecture
zbMATH Keywords: proof of Shafarevich conjecture
zbMATH Keywords: proof of Tate conjecture
zbMATH Keywords: modular height of abelian variety
zbMATH Keywords: Tate module of abelian variety
zbMATH Keywords: finiteness theorem for principally polarized abelian varieties
Wikidata QID: Q29040676
MaRDI profile type: Publication
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author: Gerd Faltings
description: scientific article; zbMATH DE number 3944027