Conformal deformations of complete manifolds with negative curvature
type: Item
instance of: scholarly article
title: Conformal deformations of complete manifolds with negative curvature
zbMATH Open document ID: 0588.53028
author: Patricio Aviles
author: Robert McOwen
published in: Journal of Differential Geometry
publication date: 1985-01-01T00:00:00Z
review text: Le sujet de cet article est l'étude sur une variété Riemannienne \(C^{\infty}(V_ n,g)\) simplement connexe, à courbure négative, complète mais non compacte du problème suivant: Etant donnée une fonction \(f\in C^{\infty}\) sur cette variété, existe-t-il une métrique conforme à g, de courbure scalaire f ? Si \(n=2\) le problème consiste à résoudre sur le disque unité de Poincaré D, de courbure -1, l'équation \((| x|^ 2-1)\Delta u/4- 1=f(x)e^{2u}\) où \(\Delta\) est le laplacien euclidien. Les AA. démontrent l'existence d'une unique métrique complète \(\tilde g=e^{2u}g\), uniformément équivalente à g, de courbure de Gauss \(\tilde K=f/2\) lorsqu'il existe un compact \(D_ 0\subset D\) tel que la fonction \(f\leq 0\) sur D vérifie (1) \(-a^ 2\leq f(x)\leq -b^ 2<0\) pour \(x\in D\setminus D_ 0\), a et b étant des constantes. De plus si f(x) s'écrit \(f(x)=-C^ 2+H(x)\) avec \(C>0\) et \((1-| x|)^{-\beta} H(x)\) borné sur D pour un \(\beta\in]0,1[\) alors \(\lim_{| x| \to 1} u(x)=-\log C\). Si f prend des valeurs positives les AA. ont un théorème d'existence moyennant des hypothèses supplémentaires. En particulier ces valeurs doivent être assez petites, une condition nécessaire d'existence d'une solution bornée étant que \(\int_{D}f(x)dx<0\). Mais quelque soit \(C>0\), \(\int_{D}f(x)dx<-C^ 2\) n'est pas une condition suffisante. L'existence d'une solution est établie en utilisant la méthode des sur- et sous-solutions. L'unicité éventuelle est prouvée par le principe du maximum généralisé. Lorsque \(n>2\) les AA. supposent que la courbure sectionnelle K vérifie \(-A^ 2\leq K\leq -B^ 2<0\) avec \(1\leq A^ 2B^{-2}\leq (n-1)^ 2/n(n-2)\). Si f satisfait (1) sur \(V\setminus V_ 0\), \(V_ 0\) étant compact, il existe \(\epsilon >0\) tel que si f vérifie f(x)\(\leq \epsilon\) sur V, le problème a une solution. Si \(f\leq 0\) la solution est unique.
Mathematics Subject Classification ID: 53C20
zbMATH DE Number: 3944736
zbMATH Keywords: Yamabe problem
zbMATH Keywords: scalar curvature
zbMATH Keywords: prescribed curvature
zbMATH Keywords: maximum principle
zbMATH Keywords: conformal deformation of metrics
reviewed by: Thierry Aubin
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: https://doi.org/10.4310/jdg/1214439565
OpenAlex ID: W1491319182
Wikidata QID: Q115187049
DOI: 10.4310/JDG/1214439565
description: scientific article; zbMATH DE number 3944736