Conformal deformations of complete manifolds with negative curvature
Le sujet de cet article est l'étude sur une variété Riemannienne \(C^{\infty}(V_ n,g)\) simplement connexe, à courbure négative, complète mais non compacte du problème suivant: Etant donnée une fonction \(f\in C^{\infty}\) sur cette variété, existe-t-il une métrique conforme à g, de courbure scalaire f ? Si \(n=2\) le problème consiste à résoudre sur le disque unité de Poincaré D, de courbure -1, l'équation \((| x|^ 2-1)\Delta u/4- 1=f(x)e^{2u}\) où \(\Delta\) est le laplacien euclidien. Les AA. démontrent l'existence d'une unique métrique complète \(\tilde g=e^{2u}g\), uniformément équivalente à g, de courbure de Gauss \(\tilde K=f/2\) lorsqu'il existe un compact \(D_ 0\subset D\) tel que la fonction \(f\leq 0\) sur D vérifie (1) \(-a^ 2\leq f(x)\leq -b^ 2<0\) pour \(x\in D\setminus D_ 0\), a et b étant des constantes. De plus si f(x) s'écrit \(f(x)=-C^ 2+H(x)\) avec \(C>0\) et \((1-| x|)^{-\beta} H(x)\) borné sur D pour un \(\beta\in]0,1[\) alors \(\lim_{| x| \to 1} u(x)=-\log C\). Si f prend des valeurs positives les AA. ont un théorème d'existence moyennant des hypothèses supplémentaires. En particulier ces valeurs doivent être assez petites, une condition nécessaire d'existence d'une solution bornée étant que \(\int_{D}f(x)dx<0\). Mais quelque soit \(C>0\), \(\int_{D}f(x)dx<-C^ 2\) n'est pas une condition suffisante. L'existence d'une solution est établie en utilisant la méthode des sur- et sous-solutions. L'unicité éventuelle est prouvée par le principe du maximum généralisé. Lorsque \(n>2\) les AA. supposent que la courbure sectionnelle K vérifie \(-A^ 2\leq K\leq -B^ 2<0\) avec \(1\leq A^ 2B^{-2}\leq (n-1)^ 2/n(n-2)\). Si f satisfait (1) sur \(V\setminus V_ 0\), \(V_ 0\) étant compact, il existe \(\epsilon >0\) tel que si f vérifie f(x)\(\leq \epsilon\) sur V, le problème a une solution. Si \(f\leq 0\) la solution est unique.
scientific article; zbMATH DE number 3944736