Fahnentransitive lineare Gruppen über globalen Körpern und über absolut-algebraischen Körpern positiver Charakteristik. (Flag transitive linear groups over global fields and over absolutely algebraic fields of positive characteristic)
Es sei V ein Vektorraum der Dimension \(n>0\) über dem kommutativen Körper K, dessen multiplikative Gruppe \(K^*\) sei. Unter einer Fahne in V versteht man ein (n-1)-Tupel \((V_ 1,...,V_{n-1})\) von Teilräumen von V mit \(\{0\}<V_ 1<...V_{n-1}<V\), und eine Untergruppe von GL(V) heißt fahnentransitiv, falls sie transitiv auf der Menge der Fahnen operiert. Der erste Satz des Verfassers, der weitgehend einen Satz von \textit{D. G. Higman} [Ill. J. Math. 6, 434-446 (1962; Zbl 0105.131)] über fahnentransitive lineare Gruppen über endlichen Körpern verallgemeinert, lautet: Ist K algebraische Erweiterung eines endlichen Körpers, so enthält jede fahnentransitive Untergruppe von GL(n,K) mit \(n\geq 5\) die Gruppe SL(n,K). Ist K ein Körper, der nicht algebraisch über einem endlichen Körper ist, so enthält SL(n,K) stets fahnentransitive Untergruppen. Der Satz 2 enthält das Hauptergebnis der Arbeit: Sei K ein globaler Körper und G eine Untergruppe von GL(n,K) mit \(n\geq 5\). Genau dann wirkt G fahnentransitiv in \(K^ n\), wenn ein Hauptidealring mit dem Quotientenkörper K und eine zu G konjugierte Untergruppe \(G_ 1\) von GL(n,K) existieren, so daß \(SL(n,R)\leq G_ 1\leq K^*GL(n,R)\) gilt. Daraus zieht der Verfasser folgende Korollare: Ist K ein globaler Körper, so sind die fahnentransitiven Untergruppen von SL(n,K) mit \(n\geq 5\) genau die GL(n,K)-Konjugierten der Gruppen SL(n,R), wobei R ein Hauptidealring mit Quotientenkörper K ist. Ist \(n\geq 3\) und R ein Integritätsbereich, der maximaler Teilring seines Quotientenkörpers K ist, so ist SL(n,R) maximale Untergruppe von SL(n,K). Sei K ein globaler Körper und \(R_ 0\) ein Hauptidealring mit K als Quotientenkörper. Ist dann G eine Untergruppe von GL(n,K) mit \(n\geq 3\), welche die Gruppe \(SL(n,R_ 0)\) enthält, so gilt \(SL(n,R)\leq G\leq K^*GL(n,R)\) für einen Ring R mit \(R_ 0\leq R\leq K\). Bei den Beweisen bedient sich der Verfasser gekonnt sowohl algebraischer als auch zahlentheoretischer wie auch geometrischer Mittel.
scientific article; zbMATH DE number 3946448
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