Une démonstration du théorème de Bochner-Weil par discrétisation du groupe. (A proof of the Bochner-Weil theorem by discretization of the group)
Le théorème de Bochner-Weil concernant la représentation intégrale des fonctions continues de type positif sur un groupe G abélien localement compact admet, grâce au théorème de Krein- Milman une démonstration fort simple lorsque la topologie de G est discrète. Le présent article se propose de démontrer le théorème pour un G quelconque, à partir de ce cas particulier. L'A. avait annoncé sans preuve ce résultat en 1969 [Enseignement Math., II. Sér. 15, 63-75 (1969; Zbl 0175.422)]. Méthode. Notons \(G_ d\) le groupe G muni de la topologie discrète; \(\hat G\) et \(\hat G_ d\) les duaux respectifs de G et \(G_ d\); enfin \(P^ 1\) et \(P^ 1_ d\) les convexes de fonctions de type positif f sur G et \(G_ d\) telles que \(f(0)=1.\) Le compact \(\hat G_ d\) est identique à l'ensemble des points extrémaux de \(P^ 1_ d\); le but est de montrer que si une mesure de probabilité \(\mu\) sur \(\hat G_ d\) a pour résultante une f continue, i.e. \(f\in P^ 1\), alors \(\mu\) est portée par l'image de \(\hat G\) dans \(\hat G_ d.\) On commence par se ramener, grâce á un passage au quotient, au cas où G est métrisable; dans ce cas \(\hat G\) est un \(K_{\sigma}\) de \(\hat G_ d\), donc universellement mesurable; puis on montre qu'alors toute mesure \(\mu\) portée par (Ĝ\({}_ d\setminus \hat G)\) a une résultante discontinue, en utilisant un critère commode de discontinuité des éléments de \(P^ 1_ d.\) L'article se termine par une étude des compacts de \(\hat G\) muni de la topologie de la convergence simple.
scientific article; zbMATH DE number 3946862
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