Une démonstration du théorème de Bochner-Weil par discrétisation du groupe. (A proof of the Bochner-Weil theorem by discretization of the group)
type: Item
instance of: scholarly article
title: Une démonstration du théorème de Bochner-Weil par discrétisation du groupe. (A proof of the Bochner-Weil theorem by discretization of the group)
zbMATH Open document ID: 0589.43005
DOI: 10.1007/BF03322346
published in: Results in Mathematics
publication date: 1986-01-01T00:00:00Z
review text: Le théorème de Bochner-Weil concernant la représentation intégrale des fonctions continues de type positif sur un groupe G abélien localement compact admet, grâce au théorème de Krein- Milman une démonstration fort simple lorsque la topologie de G est discrète. Le présent article se propose de démontrer le théorème pour un G quelconque, à partir de ce cas particulier. L'A. avait annoncé sans preuve ce résultat en 1969 [Enseignement Math., II. Sér. 15, 63-75 (1969; Zbl 0175.422)]. Méthode. Notons \(G_ d\) le groupe G muni de la topologie discrète; \(\hat G\) et \(\hat G_ d\) les duaux respectifs de G et \(G_ d\); enfin \(P^ 1\) et \(P^ 1_ d\) les convexes de fonctions de type positif f sur G et \(G_ d\) telles que \(f(0)=1.\) Le compact \(\hat G_ d\) est identique à l'ensemble des points extrémaux de \(P^ 1_ d\); le but est de montrer que si une mesure de probabilité \(\mu\) sur \(\hat G_ d\) a pour résultante une f continue, i.e. \(f\in P^ 1\), alors \(\mu\) est portée par l'image de \(\hat G\) dans \(\hat G_ d.\) On commence par se ramener, grâce á un passage au quotient, au cas où G est métrisable; dans ce cas \(\hat G\) est un \(K_{\sigma}\) de \(\hat G_ d\), donc universellement mesurable; puis on montre qu'alors toute mesure \(\mu\) portée par (Ĝ\({}_ d\setminus \hat G)\) a une résultante discontinue, en utilisant un critère commode de discontinuité des éléments de \(P^ 1_ d.\) L'article se termine par une étude des compacts de \(\hat G\) muni de la topologie de la convergence simple.
Mathematics Subject Classification ID: 43A35
Mathematics Subject Classification ID: 22B99
Mathematics Subject Classification ID: 22D35
zbMATH DE Number: 3946862
zbMATH Keywords: Bochner-Weil theorem
zbMATH Keywords: integral representation
zbMATH Keywords: positive definite
zbMATH Keywords: functions
zbMATH Keywords: locally compact abelian group
zbMATH Keywords: duality
MaRDI profile type: Publication
cites work: Extreme positive definite functions and Choquet's representation theorem
author: Gustave Choquet
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description: scientific article; zbMATH DE number 3946862