On the measure of algebraic independence of certain values of elliptic functions
type: Item
instance of: scholarly article
title: On the measure of algebraic independence of certain values of elliptic functions
zbMATH Open document ID: 0591.10025
DOI: 10.1016/0022-314X(86)90004-1
author: Robert Tubbs
published in: Journal of Number Theory
publication date: 1986-01-01T00:00:00Z
review text: Dans cet article très bien rédigé, l'A. donne l'analogue elliptique de la mesure d'indépendance algébrique obtenue en 1950 par Gel'fond et Fel'dman pour \(\alpha^{\beta}\) et \(\alpha^{\beta^ 2}:\) Soit \(\wp\) une fonction elliptique de Weierstrass d'invariants algébriques et admettant des multiplications complexes. Soit u un point algébrique de \(\wp\) et \(\beta\) un nombre cubique sur le corps des multiplications de \(\wp\). On sait que \(\wp (\beta u)\) et \(\wp (\beta^ 2u)\) sont algébriquement indépendants [\textit{D. W. Masser} et \textit{G. Wüstholz}, Journées arithmétiques, Exeter 1980, Lond. Math. Soc. Lect. Note Ser. 56, 360-363 (1982; Zbl 0491.10025)] et l'A. montre la mesure d'indépendance suivante: Pour tout \(\epsilon >0\), il existe \(t(\epsilon)>0\) tel que \[ \log | P(\wp (\beta u), \wp (\beta^ 2u))| \;>\;-\exp (t(P)^{4+\epsilon}) \] pour tout \(P\in {\mathbb{Z}}[X,Y]\) avec \(t(P)=\deg P+\log H(P)>t(\epsilon)\), où \(H(P)\) est la hauteur ''naïve'' de \(P\). Les principaux ingrédients de la preuve sont une mesure de transcendance de \(\wp (\beta u)\) due à l'A. [Proc. Am. Math. Soc. 88, 189-196 (1983; Zbl 0517.10037)], une minoration de forme linéaire de logarithmes elliptiques de Masser ou de \textit{J. Coates} et \textit{S. Lang} [Invent. Math. 34, 129-133 (1976; Zbl 0342.10018)], un lemme de zéros de \textit{D. W. Masser} et \textit{G. Wüstholz} [Invent. Math. 80, 233-267 (1985; Zbl 0564.10041)] et un analogue de la technique d'utilisation du critère de Gel'fond introduite par \textit{W. D. Brownawell} [Compos. Math. 38, 355-368 (1979; Zbl 0402.10039)] pour améliorer la mesure de Gel'fond-Fel'dman.
Mathematics Subject Classification ID: 11J85
Mathematics Subject Classification ID: 33E05
zbMATH DE Number: 3948384
zbMATH Keywords: Weierstrass elliptic function with complex multiplication
zbMATH Keywords: measure
zbMATH Keywords: of algebraic independence
MaRDI profile type: Publication
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description: scientific article; zbMATH DE number 3948384