On the measure of algebraic independence of certain values of elliptic functions
Dans cet article très bien rédigé, l'A. donne l'analogue elliptique de la mesure d'indépendance algébrique obtenue en 1950 par Gel'fond et Fel'dman pour \(\alpha^{\beta}\) et \(\alpha^{\beta^ 2}:\) Soit \(\wp\) une fonction elliptique de Weierstrass d'invariants algébriques et admettant des multiplications complexes. Soit u un point algébrique de \(\wp\) et \(\beta\) un nombre cubique sur le corps des multiplications de \(\wp\). On sait que \(\wp (\beta u)\) et \(\wp (\beta^ 2u)\) sont algébriquement indépendants [\textit{D. W. Masser} et \textit{G. Wüstholz}, Journées arithmétiques, Exeter 1980, Lond. Math. Soc. Lect. Note Ser. 56, 360-363 (1982; Zbl 0491.10025)] et l'A. montre la mesure d'indépendance suivante: Pour tout \(\epsilon >0\), il existe \(t(\epsilon)>0\) tel que \[ \log | P(\wp (\beta u), \wp (\beta^ 2u))| \;>\;-\exp (t(P)^{4+\epsilon}) \] pour tout \(P\in {\mathbb{Z}}[X,Y]\) avec \(t(P)=\deg P+\log H(P)>t(\epsilon)\), où \(H(P)\) est la hauteur ''naïve'' de \(P\). Les principaux ingrédients de la preuve sont une mesure de transcendance de \(\wp (\beta u)\) due à l'A. [Proc. Am. Math. Soc. 88, 189-196 (1983; Zbl 0517.10037)], une minoration de forme linéaire de logarithmes elliptiques de Masser ou de \textit{J. Coates} et \textit{S. Lang} [Invent. Math. 34, 129-133 (1976; Zbl 0342.10018)], un lemme de zéros de \textit{D. W. Masser} et \textit{G. Wüstholz} [Invent. Math. 80, 233-267 (1985; Zbl 0564.10041)] et un analogue de la technique d'utilisation du critère de Gel'fond introduite par \textit{W. D. Brownawell} [Compos. Math. 38, 355-368 (1979; Zbl 0402.10039)] pour améliorer la mesure de Gel'fond-Fel'dman.
Weierstrass elliptic function with complex multiplication
scientific article; zbMATH DE number 3948384
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